【正文】 無獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移 。 如果此體系是幾何可變體系或瞬變體系 ， 則可以通過增加鏈桿使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系 ， 所增加的最少鏈桿的數(shù)目 ， 就是原結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目 。 例如圖 (a)所示結(jié)構(gòu) ， 鉸化結(jié)點(diǎn)后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系 [圖 (b)]， 所以結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的數(shù)目為一 ， 整個(gè)結(jié)構(gòu)的基本未知量為兩個(gè)角位移和一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移 。 2. 位移法基本結(jié)構(gòu) 由前述可知 ， 用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí) ， 是以一系列單跨超靜定梁的組合體作為基本結(jié)構(gòu)的 。因此 ， 在確定了基本未知量后 ， 就要增加附加約束以限制所有結(jié)點(diǎn)的位移 ， 把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一系列相互獨(dú)立的單跨超靜定梁的組合體 。 即在產(chǎn)生角位移的剛結(jié)點(diǎn)處附加剛臂約束轉(zhuǎn)動(dòng)；在產(chǎn)生線位移的結(jié)點(diǎn)處附加支座鏈桿約束其線位移 。 圖 (a)所示剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn) D和 E， 在忽略各桿件自身軸向變形的情況下 ， 兩結(jié)點(diǎn)有相同的線位移 ，所以只要在結(jié)點(diǎn) D和 E處附加兩個(gè)剛臂 ， 以阻止兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) ， 在結(jié)點(diǎn) E處附加支座鏈桿以限制其線位移 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) 這樣就使得原結(jié)構(gòu)變成為無結(jié)點(diǎn)線位移及角位移的一系列單跨超靜定梁的組合體 ， 即位移法的基本結(jié)構(gòu) [圖 (b)]。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) 需要強(qiáng)調(diào)說明：力法中的基本結(jié)構(gòu)是從原結(jié)構(gòu)中拆除多余約束而代之以多余未知力的靜定結(jié)構(gòu) 。而位移法的基本結(jié)構(gòu)是在原結(jié)構(gòu)上增加約束構(gòu)成若干個(gè)單跨超靜定梁的組合體 。 雖然它們的形式不同 ，但都是原結(jié)構(gòu)的代表 ， 其受力和變形與原結(jié)構(gòu)是一致的 。 位移法典型方程及計(jì)算舉例 1. 位移法典型方程 在前面我們以只有一個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu)介紹了位移法的基本概念 ， 對(duì)于具有多個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu) ， 仍然應(yīng)用上述思路 ， 建立位移法方程的典型形式 。 圖 (a) 所示剛架有兩個(gè)基本未知量 ， 即結(jié)點(diǎn) B的轉(zhuǎn)角 Z1和結(jié)點(diǎn) C的水平位移 Z2。 在結(jié)點(diǎn) B處施加限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束 —— 附加剛臂 ， 在結(jié)點(diǎn) C加一控制水平線位移的約束 —— 附加支座鏈桿 ， 得到的基本結(jié)構(gòu)如圖(b) 所示 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) 下面利用疊加原理建立位移法方程 。 (1) 計(jì)算基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用時(shí)各附加約束上的約束力 。 先求出各桿的桿端力 ， 然后求約束中存在的約束力 R1F、 R2F[圖 (a)]。 圖 (a) F R1F R2F F （ 2） 計(jì)算基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn) B發(fā)生轉(zhuǎn)角 Z1時(shí)各附加約束上的約束力 。 使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn) B發(fā)生單位轉(zhuǎn)角 Z1=1， 但結(jié)點(diǎn) C仍被鎖住 。 這時(shí) ， 可求出基本結(jié)構(gòu)在桿件 AB、 BC和 CD的桿端力 ， 以及在兩個(gè)約束中分別存在的約束力 r11和 r21[圖 (b)]。 于是我們把圖 (b)擴(kuò)大 Z1倍 ， 即乘以 Z1 。 (b) (c) （ 3） 計(jì)算基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn) C發(fā)生水平位移 Z2時(shí)各附加約束上的約束力 。 使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn) C發(fā)生單位水平位移 Z2=1， 但結(jié)點(diǎn) B仍被鎖住 。 這時(shí) ， 可求出基本結(jié)構(gòu)在桿件 AB、 BC和 CD的桿端力 ， 以及在兩個(gè)約束中分別存在的約束力 r12和 r22[圖 (c)]。 于是我們把圖 (c)擴(kuò)大 Z2倍 ， 即乘以 Z2 。 疊加以上三種情況 ， 得基本結(jié)構(gòu)在荷載和結(jié)點(diǎn)位移 Z Z2共同作用下的結(jié)果 。 根據(jù)以上各種因素引起的附加約束上的約束力疊加后應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致 ，即各附加約束上的總約束力應(yīng)等于零的條件 。 可列出兩個(gè)位移法方程 r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1F=0 r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2F=0 式中的系數(shù)和自由項(xiàng) ， 是由荷載和結(jié)點(diǎn)位移 ZZ2共同作用下 ， 在附加約束上引起的約束力 。 可由結(jié)點(diǎn)隔離體和桿件隔離體的平衡條件確定 ， 得到各系數(shù)及自由項(xiàng)后 ， 代入位移法方程中 ， 即可解出各結(jié)點(diǎn)位移 Z Z2的值 。 最后可按下式疊加繪出最后彎矩圖： F2211 MZMZMM ???式中： 、 和 MF —— 結(jié)點(diǎn)位移 Z1= Z2=1和荷載 單獨(dú)作用于下 ， 基本結(jié)構(gòu)的彎矩 。 對(duì)于具有 n個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu) ， 則附加約束（ 附加剛臂或附加鏈桿 ） 也有 n個(gè) ， 由 n個(gè)附加約束上的受力與原結(jié)構(gòu)一致的平衡條件 ， 可建立 n個(gè)位移法方程 : 1M 2Mr11Z1+r12Z2+… +r1nZn+R1F=0 r21Z1+r22Z2+… +r2nZn+R2F=0 … … … … … … … rn1Z1+rn2Z2+… +rnnZn+RnF=0 上式稱為 位移法的典型方程 。 式中的 rii0稱為 主系數(shù) ， 其物理意義為 Zi=1時(shí) ，基本結(jié)構(gòu)中附加約束 i上的反力 ， 它恒為正值； rij稱為 副系數(shù) ， 其物理意義為 Zj=1時(shí) ， 基本結(jié)構(gòu)中附加約束 i上的反力 ， 副系數(shù)可為正 、 可為負(fù)或?yàn)榱?；由反力互等定理且?rij=rji； RiF為 自由項(xiàng) ， 其物理意義為荷載作用于基本結(jié)構(gòu)上時(shí) ， 附加約束 i上的反力 ，自由項(xiàng)可為正 、 為負(fù)或?yàn)榱?。 2． 位移法計(jì)算舉例 上面討論了用位移法典型方程解算超靜定結(jié)構(gòu)的解題思路和方法 ， 根據(jù)前面所述 ， 用位移法解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下： （ 1） 首先確定基本未知量 ， 增加阻止剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和結(jié)點(diǎn)移動(dòng)的附加約束 ， 從而形成基本結(jié)構(gòu)； （ 2） 使基本結(jié)構(gòu)承受原荷載 ， 并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移 ， 根據(jù)附加約束上的反力矩或反力等于零的條件 ， 建立位移法的典型方程； （ 3） 繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖 圖與荷載彎矩圖 MF圖 ， 利用平衡條件求系數(shù)和自由項(xiàng)； （ 4） 解算典型方程 ， 求出各基本未知量； iM （ 5） 按疊加公式 繪出最后彎矩圖 ， 然后根據(jù)最后彎矩圖作出剪力圖并根據(jù)剪力圖繪出軸力圖 。 （ 6） 校核 。 在位移法計(jì)算中 ， 由于位移條件自然滿足 ， 所以只需校核平衡條件 。 FMZMM ii ?? ? 1. 無結(jié)點(diǎn)線位移結(jié)構(gòu)的計(jì)算 當(dāng)剛架的結(jié)點(diǎn)上只有角位移 、 無線位移時(shí) ，稱為 無側(cè)移剛架 。 對(duì)于超靜定梁和無側(cè)移剛架這類無結(jié)點(diǎn)線位移結(jié)構(gòu)用位移法求解最為方便 。 【 例 】 試用位移法計(jì)算圖示超靜定梁 ， 并繪制內(nèi)力圖 。 已知 F=2ql。 F F 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結(jié)構(gòu) 。 此超靜定梁有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn) B， 無結(jié)點(diǎn)線位移 。因此 ， 基本未知量為結(jié)點(diǎn) B處的轉(zhuǎn)角 Z1， 基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) z1 F 2) 建立位移法方程 。 由結(jié)點(diǎn) B處附加剛臂的約束力矩總和為零的條件 ， 建立位移法方程為 r11Z1+R1F=0 F (b)基本結(jié)構(gòu) z1 4EIi ?3) 求系數(shù)和自由項(xiàng) 。 令 ， 繪出 Z1=1和荷載單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)上時(shí)的彎矩圖 圖和 MF圖 ， 如圖 (c， d)所示 。 1M圖)c( 1M圖)d( FM圖)c( 1M圖)d( FMB B 并分別從 圖和 MF圖取出結(jié)點(diǎn) B作為隔離體 [圖 (c，d)]。 1MR1F 利用結(jié)點(diǎn)的平衡條件可計(jì)算出系數(shù)和自由項(xiàng)如下： r11=7i 8 21FqlR ? 4) 解方程求基本未知量 。 將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程 ， 得 解方程得 iqlZ5621 ??08721 ??qliZ5） 繪內(nèi)力圖 。 由疊加公式 ， 求各桿端彎矩繪出最后 M圖 ， 如圖 (e)所示 。 截取各桿為隔離體 ， 根據(jù)靜力平衡條件 ， 計(jì)算各桿端剪力 ， 進(jìn)而繪出剪力 FS圖 ， 如圖 (f)所示 。 F11 MZMM ??(e)M圖 (f)FS 圖 6） 校核 。 在位移法計(jì)算中 ， 只需作平衡條件校核 。 從圖 (e)中取結(jié)點(diǎn) B為隔離體 ， 驗(yàn)算其是否滿足平衡條件 ∑MB =0 計(jì)算無誤。 01 1 2171 1 217 22 ???? qlqlM B(e)M圖 【 例 】 試用位移法計(jì)算圖示剛架 ， 并繪制彎矩圖 。 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結(jié)構(gòu) 。 此剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn) 1和 2 ， 無結(jié)點(diǎn)線位移 。因此 ， 基本未知量為結(jié)點(diǎn) 1和 2處的轉(zhuǎn)角 Z1和 Z2，基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) z2 z1 2) 建立位移法方程 。 由剛結(jié)點(diǎn) 2處附加剛臂約束力矩總和分別為零 ， 建立位移法方程為 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z1+r22Z2+R2F=0 (b)基本結(jié)構(gòu) z2 z1 3) 求系數(shù)和自由項(xiàng) 。 令 ， 繪出 Z1= Z2=1和荷載單獨(dú)作用于基本體系上時(shí)的彎矩圖 圖 、 圖和 MF圖 ， 分別如圖 (a～ c)所示 。 4EIi ?1M 2M圖)a( 1M 圖)c( FM圖)b( 2M 在圖 (a～ c)中分別利用結(jié)點(diǎn)的平衡條件可計(jì)算出系數(shù)和自由項(xiàng)如下： r11=20i ， r12=4i=r21 ， r22=12i ， R1F=40 ， R2F=0 圖)a( 1M 圖)c( FM圖)b( 2M 4) 解方程求基本未知量 。 將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程 ， 得 20iZ1+4iZ2+40=0 4iZ1+12iZ2+0=0 解方程得 iZiZ 7571521 ??? 5） 繪彎矩圖 。 由 疊加繪出最后 M圖 ， 如圖 (d)所示 。 F2211 MZMZMM ???73407160710072076073071060 2 1 )mkN(圖)d( ?MA B C 6） 校核 。 在位移法計(jì)算中 ， 只需作平衡條件校核 。 由圖 (f)中分別取結(jié)點(diǎn) 1和結(jié)點(diǎn) 2為隔離體 ， 驗(yàn)算其是否滿足平衡條件 和 。 01 ?? M 02 ?? M0760710071601 ????? M07207202 ???? M 可知計(jì)算無誤。 當(dāng)剛架中的結(jié)點(diǎn)有線位移時(shí) ， 稱其為 有側(cè)移剛架 。 這也是工程中常用的結(jié)構(gòu) 。 用位移法計(jì)算有側(cè)移剛架時(shí) ， 其方法和計(jì)算無側(cè)移剛架時(shí)基本相同 ， 所不同的是限制結(jié)點(diǎn)線位移的附加約束為附加支座鏈桿 。 下面舉例說明如何用位移法計(jì)算有側(cè)移結(jié)構(gòu) 。 【 例 】 試用位移法計(jì)算圖示剛架 ， 并繪制彎矩圖 。 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結(jié)構(gòu) 。 此剛架有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn) 1和一個(gè)鉸結(jié)點(diǎn) 2， 結(jié)點(diǎn) 2有相同的水平位移 。 因此 ， 基本未知量為結(jié)點(diǎn) 1處的轉(zhuǎn)角 Z1和結(jié)點(diǎn) 2的水平位移 Z2。 在剛結(jié)點(diǎn) 1施加限制結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的附加約束 ， 在鉸結(jié)點(diǎn) 2施加限制結(jié)點(diǎn)線位移的附加約束 。 得到基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) Z1 Z2 2) 列出位移法方程 。 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z1+r22Z2+R2F=0 其中第二式是根據(jù)原結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn) 2上沒有水平約束力這一條件建立的 。 (b)基本結(jié)構(gòu) Z1 Z2 3) 求系數(shù)和自由項(xiàng) 。 分別繪出 Z