【正文】 ΧΧΧΔΧΧΧΔΧΧΧ?????????基本結(jié)構(gòu)在各單位多余未知力作用下的彎矩圖和變形圖如圖 （ b～ d） 所示 。 1M 2M3M因此 ， 力法方程的系數(shù)為 0d0d323223313113??????? ?? ?sEIMMsEIMMll????于是 ， 力法方程簡化為 ?????????????0003F3332F2221211F212111ΔΧΔΧΧΔΧΧ?????可以看出 ， 力法方程已分解為獨立的兩組：一組為上式的前兩式 ， 其只包含對稱的未知力 X X2；另一組為上式的第三式 ， 只包含反對稱的未知力 X3。 + 例如對于如圖所示的任意荷載 ， 可以分解為對稱荷載 ［ 圖 （ a）］ 和反對稱荷載 ［ 圖 （ b）］ 。 這時由于 圖是反對稱的 ， 因此有 3M(a)MF圖 由力法方程的第三式可知 ， 反對稱的多余未知力 X3=0。 當(dāng)結(jié)構(gòu)上的荷載為反對稱荷載時 ， 荷載作用于基本結(jié)構(gòu)的 MF圖為反對稱的如圖 （ b） 所示 。 于是可得結(jié)論： 對稱的超靜定結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下 ， 對稱的多余未知力必為零 ， 只存在反對稱的多余未知力 。 這樣一來 ， 原來的高階聯(lián)立方程組就分解成兩個獨立的低階方程組 ， 從而使計算得到簡化 。 【 解 】 1） 對稱性分析 。 為使計算簡化 ， 將圖 （ a） 所示的荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載圖 （ b， c） 兩種情況 。 所以 ， 為了繪原剛架的彎矩圖 ， 只需繪在反對稱荷載 [圖 （ c） ]作用下的彎矩圖 。 在反對稱荷載作用下 ， 選用圖 （ d） 所示的基本結(jié)構(gòu) 。 故切口處只有反對稱未知力 X1存在 。 根據(jù)橫梁中點切口兩側(cè)截面的相對豎向位移應(yīng)該等于零的條件 ， 建立力法方程為 4） 計算系數(shù)和自由項 。 1M0F2122 ?? ΔX?由圖乘法計算系數(shù)和自由項為 1211F23122111422212122232222112212EIlFhlhFhEIΔEIlEIhllllEIlhlEI?????????????????????????????????????????(f)M1圖 (e)MF圖 5） 解力法方程 。 由疊加法 繪出彎矩圖如圖所示 。 而位移法則是以獨立的結(jié)點位移為基本未知量 ， 未知量個數(shù)與超靜定次數(shù)無關(guān) ， 故一些高次超靜定結(jié)構(gòu)用位移法計算比較簡便 。 。 此梁在均布荷載作用下的變形情況如圖虛線所示 。 B?B?B?在分析上述連續(xù)梁時 ， 我們可以這樣考慮：把桿 AB看作是兩端固定的梁在 B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角 ；把桿 BC看作是 B端固定 C端鉸支的梁 ， 在梁上受均布荷載作用 ， 并在 B端發(fā)生轉(zhuǎn)角 ， 如圖 （ b） 所示 。 只要能夠計算出轉(zhuǎn)角 的大小 ， 就可以用力法計算出這兩個單跨超靜定梁的全部反力和內(nèi)力 。 第一步 ， 增加約束 ， 將結(jié)點 B鎖住 。 A B?B?B?(a)基本結(jié)構(gòu) B C 于是圖 （ a） 所示的等截面連續(xù)梁變成了由 AB和 BC兩個單跨超靜定梁組成的組合體 。 在基本結(jié)構(gòu)上受外荷載作用 ， 并使 B點附加剛臂轉(zhuǎn)過與實際變形相同的轉(zhuǎn)角 Z1= ， 使基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)取得一致 [圖 (a)]， 進而用基本結(jié)構(gòu)代替原結(jié)構(gòu)的計算 。 其彎矩圖可由力法計算如圖 (b)所示 ， 在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R1F。 在 B端發(fā)生轉(zhuǎn)角 Z1的支座移動 ，其彎矩圖可由力法計算得到 ， 如圖 (c)所示 ， 在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為 R11 。 由疊加原理可得基本結(jié)構(gòu)在兩種情況下引起的約束力矩為 R11+R1F。 即 R11+R1F =0 。Z1 ， 則上式改寫為 r11 式中的 r11稱為 系數(shù) ；R1F稱為 自由項 。 為了由位移法方程求解 Z1， 可由圖 (b)中取結(jié)點 B為隔離體 ， 由力矩平衡條件得出 ；由圖 (c)中取結(jié)點 B為隔離體 ， 并令 Z1=1， 由力矩平衡條件得出 。 A B C 82ql282ql142ql(d) 總結(jié)以上分析過程 ， 可以把位移法計算的解題思路歸納如下： （ 1） 以獨立的結(jié)點位移作為位移法的基本未知量 。 （ 3） 以基本結(jié)構(gòu)在附加約束處的受力與原結(jié)構(gòu)一致的平衡條件建立位移法方程 。 在位移法計算中 ， 要用力法對每個單跨超靜定梁的桿端彎矩和桿端剪力進行計算 。 在表 ， i=EI/l， 稱為桿件的 線剛度 。 至于剪力的正 、負(fù)號仍與以前規(guī)定相同 。 表 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 1??1??續(xù)表 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 1??1??續(xù)表 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 續(xù)表 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 續(xù)表 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 續(xù)表 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 位移法基本未知量與基本體系 1． 位移法的基本未知量 在力法計算中 ， 是以超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力為基本未知量 ， 而在位移法計算中 ， 則是以結(jié)構(gòu)中剛結(jié)點的角位移 （ 鉸結(jié)點的角位移可由桿件另一端的位移求出 ， 故不作為基本位知量 ） 和獨立的結(jié)點線位移作為基本未知量 。 下面舉例說明如何確定位移法的基本未知量 。 D?C?(b) 同理 ， 圖 （ b） 所示排架有三個鉸結(jié)點 ， 其水平線位移相同 ， 故該結(jié)構(gòu)的基本未知量是一個線位移 Δ。 即在確定結(jié)構(gòu)獨立的結(jié)點線位移時 ，先把所有的結(jié)點和支座都換成鉸結(jié)點和鉸支座 ， 得到一個鉸結(jié)體系 。 如果此體系是幾何可變體系或瞬變體系 ， 則可以通過增加鏈桿使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系 ， 所增加的最少鏈桿的數(shù)目 ， 就是原結(jié)構(gòu)的獨立結(jié)點線位移的數(shù)目 。 2. 位移法基本結(jié)構(gòu) 由前述可知 ， 用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時 ， 是以一系列單跨超靜定梁的組合體作為基本結(jié)構(gòu)的 。 即在產(chǎn)生角位移的剛結(jié)點處附加剛臂約束轉(zhuǎn)動；在產(chǎn)生線位移的結(jié)點處附加支座鏈桿約束其線位移 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) 這樣就使得原結(jié)構(gòu)變成為無結(jié)點線位移及角位移的一系列單跨超靜定梁的組合體 ， 即位移法的基本結(jié)構(gòu) [圖 (b)]。而位移法的基本結(jié)構(gòu)是在原結(jié)構(gòu)上增加約束構(gòu)成若干個單跨超靜定梁的組合體 。 位移法典型方程及計算舉例 1. 位移法典型方程 在前面我們以只有一個基本未知量的結(jié)構(gòu)介紹了位移法的基本概念 ， 對于具有多個基本未知量的結(jié)構(gòu) ， 仍然應(yīng)用上述思路 ， 建立位移法方程的典型形式 。 在結(jié)點 B處施加限制轉(zhuǎn)動的約束 —— 附加剛臂 ， 在結(jié)點 C加一控制水平線位移的約束 —— 附加支座鏈桿 ， 得到的基本結(jié)構(gòu)如圖(b) 所示 。 (1) 計算基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨作用時各附加約束上的約束力 。 圖 (a) F R1F R2F F （ 2） 計算基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點 B發(fā)生轉(zhuǎn)角 Z1時各附加約束上的約束力 。 這時 ， 可求出基本結(jié)構(gòu)在桿件 AB、 BC和 CD的桿端力 ， 以及在兩個約束中分別存在的約束力 r11和 r21[圖 (b)]。 (b) (c) （ 3） 計算基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點 C發(fā)生水平位移 Z2時各附加約束上的約束力 。 這時 ， 可求出基本結(jié)構(gòu)在桿件 AB、 BC和 CD的桿端力 ， 以及在兩個約束中分別存在的約束力 r12和 r22[圖 (c)]。 疊加以上三種情況 ， 得基本結(jié)構(gòu)在荷載和結(jié)點位移 Z Z2共同作用下的結(jié)果 。 可列出兩個位移法方程 r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1F=0 r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2F=0 式中的系數(shù)和自由項 ， 是由荷載和結(jié)點位移 ZZ2共同作用下 ， 在附加約束上引起的約束力 。 最后可按下式疊加繪出最后彎矩圖： F2211 MZMZMM ???式中： 、 和 MF —— 結(jié)點位移 Z1= Z2=1和荷載 單獨作用于下 ， 基本結(jié)構(gòu)的彎矩 。 式中的 rii0稱為 主系數(shù) ， 其物理意義為 Zi=1時 ，基本結(jié)構(gòu)中附加約束 i上的反力 ， 它恒為正值； rij稱為 副系數(shù) ， 其物理意義為 Zj=1時 ， 基本結(jié)構(gòu)中附加約束 i上的反力 ， 副系數(shù)可為正 、 可為負(fù)或為零；由反力互等定理且有 rij=rji； RiF為 自由項 ， 其物理意義為荷載作用于基本結(jié)構(gòu)上時 ， 附加約束 i上的反力 ，自由項可為正 、 為負(fù)或為零 。 （ 6） 校核 。 FMZMM ii ?? ? 1. 無結(jié)點線位移結(jié)構(gòu)的計算 當(dāng)剛架的結(jié)點上只有角位移 、 無線位移時 ，稱為 無側(cè)移剛架 。 【 例 】 試用位移法計算圖示超靜定梁 ， 并繪制內(nèi)力圖 。 F F 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結(jié)構(gòu) 。因此 ， 基本未知量為結(jié)點 B處的轉(zhuǎn)角 Z1， 基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 由結(jié)點 B處附加剛臂的約束力矩總和為零的條件 ， 建立位移法方程為 r11Z1+R1F=0 F (b)基本結(jié)構(gòu) z1 4EIi ?3) 求系數(shù)和自由項 。 1M圖)c( 1M圖)d( FM圖)c( 1M圖)d( FMB B 并分別從 圖和 MF圖取出結(jié)點 B作為隔離體 [圖 (c，d)]。 將系數(shù)和自由項代入位移法方程 ， 得 解方程得 iqlZ5621 ??08721 ??qliZ5） 繪內(nèi)力圖 。 截取各桿為隔離體 ， 根據(jù)靜力平衡條件 ， 計算各桿端剪力 ， 進而繪出剪力 FS圖 ， 如圖 (f)所示 。 在位移法計算中 ， 只需作平衡條件校核 。 01 1 2171 1 217 22 ???? qlqlM B(e)M圖 【 例 】 試用位移法計算圖示剛架 ， 并繪制彎矩圖 。 此剛架有兩個剛結(jié)點 1和 2 ， 無結(jié)點線位移 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) z2 z1 2) 建立位移法方程 。 令 ， 繪出 Z1= Z2=1和荷載單獨作用于基本體系上時的彎矩圖 圖 、 圖和 MF圖 ， 分別如圖 (a～ c)所示 。 將系數(shù)和自由項代入位移法方程 ， 得 20iZ1+4iZ2+40=0 4iZ1+12iZ2+0=0 解方程得 iZiZ 7571521 ??? 5） 繪彎矩圖 。 F2211 MZMZMM ???73407160710072076073071060 2 1 )mkN(圖)d( ?MA B C 6） 校核 。 由圖 (f)中分別取結(jié)點 1和結(jié)點 2為隔離體 ， 驗算其是否滿足平衡條件 和 。 當(dāng)剛架中的結(jié)點有線位移時 ， 稱其為 有側(cè)移剛架 。 用位移法計算有側(cè)移剛架時 ， 其方法和計算無側(cè)移剛架時基本相同 ， 所不同的是限制結(jié)點線位移的附加約束為附加支座鏈桿 。 【 例 】 試用位移法計算圖示剛架 ， 并繪制彎矩圖 。 此剛架有一個剛結(jié)點 1和一個鉸結(jié)點 2， 結(jié)點 2有相同的水平位移 。 在剛結(jié)點 1施加限制結(jié)點轉(zhuǎn)動的附加約束 ， 在鉸結(jié)點 2施加限制結(jié)點線位移的附加約束 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) Z1 Z2 2) 列出位移法方程 。 (b)基本結(jié)構(gòu) Z1 Z2 3) 求系數(shù)和自由項