【正文】 分別繪出 Z1。 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z1+r22Z2+R2F=0 其中第二式是根據(jù)原結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn) 2上沒有水平約束力這一條件建立的 。 得到基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 因此 ， 基本未知量為結(jié)點(diǎn) 1處的轉(zhuǎn)角 Z1和結(jié)點(diǎn) 2的水平位移 Z2。 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結(jié)構(gòu) 。 下面舉例說明如何用位移法計(jì)算有側(cè)移結(jié)構(gòu) 。 這也是工程中常用的結(jié)構(gòu) 。 01 ?? M 02 ?? M0760710071601 ????? M07207202 ???? M 可知計(jì)算無誤。 在位移法計(jì)算中 ， 只需作平衡條件校核 。 由 疊加繪出最后 M圖 ， 如圖 (d)所示 。 4EIi ?1M 2M圖)a( 1M 圖)c( FM圖)b( 2M 在圖 (a～ c)中分別利用結(jié)點(diǎn)的平衡條件可計(jì)算出系數(shù)和自由項(xiàng)如下： r11=20i ， r12=4i=r21 ， r22=12i ， R1F=40 ， R2F=0 圖)a( 1M 圖)c( FM圖)b( 2M 4) 解方程求基本未知量 。 由剛結(jié)點(diǎn) 2處附加剛臂約束力矩總和分別為零 ， 建立位移法方程為 r11Z1+r12Z2+R1F=0 r21Z1+r22Z2+R2F=0 (b)基本結(jié)構(gòu) z2 z1 3) 求系數(shù)和自由項(xiàng) 。因此 ， 基本未知量為結(jié)點(diǎn) 1和 2處的轉(zhuǎn)角 Z1和 Z2，基本結(jié)構(gòu)如圖 (b)所示 。 【 解 】 1)確定基本未知量 ， 形成基本結(jié)構(gòu) 。 從圖 (e)中取結(jié)點(diǎn) B為隔離體 ， 驗(yàn)算其是否滿足平衡條件 ∑MB =0 計(jì)算無誤。 F11 MZMM ??(e)M圖 (f)FS 圖 6） 校核 。 由疊加公式 ， 求各桿端彎矩繪出最后 M圖 ， 如圖 (e)所示 。 1MR1F 利用結(jié)點(diǎn)的平衡條件可計(jì)算出系數(shù)和自由項(xiàng)如下： r11=7i 8 21FqlR ? 4) 解方程求基本未知量 。 令 ， 繪出 Z1=1和荷載單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)上時(shí)的彎矩圖 圖和 MF圖 ， 如圖 (c， d)所示 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) z1 F 2) 建立位移法方程 。 此超靜定梁有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn) B， 無結(jié)點(diǎn)線位移 。 已知 F=2ql。 對(duì)于超靜定梁和無側(cè)移剛架這類無結(jié)點(diǎn)線位移結(jié)構(gòu)用位移法求解最為方便 。 在位移法計(jì)算中 ， 由于位移條件自然滿足 ， 所以只需校核平衡條件 。 2． 位移法計(jì)算舉例 上面討論了用位移法典型方程解算超靜定結(jié)構(gòu)的解題思路和方法 ， 根據(jù)前面所述 ， 用位移法解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下： （ 1） 首先確定基本未知量 ， 增加阻止剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和結(jié)點(diǎn)移動(dòng)的附加約束 ， 從而形成基本結(jié)構(gòu)； （ 2） 使基本結(jié)構(gòu)承受原荷載 ， 并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移 ， 根據(jù)附加約束上的反力矩或反力等于零的條件 ， 建立位移法的典型方程； （ 3） 繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖 圖與荷載彎矩圖 MF圖 ， 利用平衡條件求系數(shù)和自由項(xiàng)； （ 4） 解算典型方程 ， 求出各基本未知量； iM （ 5） 按疊加公式 繪出最后彎矩圖 ， 然后根據(jù)最后彎矩圖作出剪力圖并根據(jù)剪力圖繪出軸力圖 。 對(duì)于具有 n個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu) ， 則附加約束（ 附加剛臂或附加鏈桿 ） 也有 n個(gè) ， 由 n個(gè)附加約束上的受力與原結(jié)構(gòu)一致的平衡條件 ， 可建立 n個(gè)位移法方程 : 1M 2Mr11Z1+r12Z2+… +r1nZn+R1F=0 r21Z1+r22Z2+… +r2nZn+R2F=0 … … … … … … … rn1Z1+rn2Z2+… +rnnZn+RnF=0 上式稱為 位移法的典型方程 。 可由結(jié)點(diǎn)隔離體和桿件隔離體的平衡條件確定 ， 得到各系數(shù)及自由項(xiàng)后 ， 代入位移法方程中 ， 即可解出各結(jié)點(diǎn)位移 Z Z2的值 。 根據(jù)以上各種因素引起的附加約束上的約束力疊加后應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致 ，即各附加約束上的總約束力應(yīng)等于零的條件 。 于是我們把圖 (c)擴(kuò)大 Z2倍 ， 即乘以 Z2 。 使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn) C發(fā)生單位水平位移 Z2=1， 但結(jié)點(diǎn) B仍被鎖住 。 于是我們把圖 (b)擴(kuò)大 Z1倍 ， 即乘以 Z1 。 使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn) B發(fā)生單位轉(zhuǎn)角 Z1=1， 但結(jié)點(diǎn) C仍被鎖住 。 先求出各桿的桿端力 ， 然后求約束中存在的約束力 R1F、 R2F[圖 (a)]。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) 下面利用疊加原理建立位移法方程 。 圖 (a) 所示剛架有兩個(gè)基本未知量 ， 即結(jié)點(diǎn) B的轉(zhuǎn)角 Z1和結(jié)點(diǎn) C的水平位移 Z2。 雖然它們的形式不同 ，但都是原結(jié)構(gòu)的代表 ， 其受力和變形與原結(jié)構(gòu)是一致的 。 (b)基本結(jié)構(gòu) (a)原結(jié)構(gòu) 需要強(qiáng)調(diào)說明：力法中的基本結(jié)構(gòu)是從原結(jié)構(gòu)中拆除多余約束而代之以多余未知力的靜定結(jié)構(gòu) 。 圖 (a)所示剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn) D和 E， 在忽略各桿件自身軸向變形的情況下 ， 兩結(jié)點(diǎn)有相同的線位移 ，所以只要在結(jié)點(diǎn) D和 E處附加兩個(gè)剛臂 ， 以阻止兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) ， 在結(jié)點(diǎn) E處附加支座鏈桿以限制其線位移 。因此 ， 在確定了基本未知量后 ， 就要增加附加約束以限制所有結(jié)點(diǎn)的位移 ， 把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一系列相互獨(dú)立的單跨超靜定梁的組合體 。 例如圖 (a)所示結(jié)構(gòu) ， 鉸化結(jié)點(diǎn)后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系 [圖 (b)]， 所以結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的數(shù)目為一 ， 整個(gè)結(jié)構(gòu)的基本未知量為兩個(gè)角位移和一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移 。 若此體系是幾何不變體系 ， 則由此知道結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)均無獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移 。 當(dāng)結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判斷時(shí) ， 則可以采用 “ 鉸化結(jié)點(diǎn) 、 增加鏈桿 ”的方法判斷 。 圖 （ a） 所示剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn) ， 現(xiàn)在兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)都發(fā)生了角位移和線位移 ， 但在忽略桿件的軸向變形時(shí) ， 這兩個(gè)線位移相等 ， 即獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移只有一個(gè) ， 因此用位移法求解時(shí) ， 該結(jié)構(gòu)的基本未知量是兩個(gè)角位移 和 以及一個(gè)線位移 Δ。 在結(jié)構(gòu)中 ， 一般情況下剛結(jié)點(diǎn)的角位移數(shù)目和剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目相同 ， 但結(jié)構(gòu)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目則需要分析判斷后才能確定 。 轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正 ，反之為負(fù) 。 表 中桿端彎矩的正 、 負(fù)號(hào)規(guī)定為：對(duì)桿端而言彎矩以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?（ 對(duì)支座或結(jié)點(diǎn)而言 ， 則以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?） ， 反之為負(fù) [如圖所示 ]。 為了使用方便 ，對(duì)各種約束的單跨超靜定梁由荷載及支座移動(dòng)引起的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值均列于表 ， 以備查用 。 （ 4） 原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力是荷載和結(jié)點(diǎn)位移共同下 ，在基本結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力 。 （ 2） 以增加附加約束后的一系列單跨超靜定梁的組合體作為位移法的基本結(jié)構(gòu) 。 代入位移法方程 ， 得 821FqlR ??lEIr 711 ? EIqlZ5631 ?（ c） （ b） 求出 Z1后 ， 將圖 (b， c)兩種情況疊加 ， 即得原結(jié)構(gòu)的彎矩圖如圖 (d)所示 。 它們的方向規(guī)定與 Z1方向相同為正 ， 反之為負(fù) 。Z1+ R1F =0 上式稱為 位移法方程 。 如在圖 (c)中令 r11表示當(dāng) Z1=1時(shí)附加剛臂上的約束力矩 ， 即 R11= r11 由于基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同 ， 在原結(jié)構(gòu)上沒有附加剛臂 ，故基本結(jié)構(gòu)中附加剛臂上的約束力矩應(yīng)為零 。 （ c） 第四步 ， 把基本結(jié)構(gòu)的兩種情況疊加 ， 計(jì)算轉(zhuǎn)角 Z1。 (b) 第三步 ， 施加力偶 ， 使基本結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn) B產(chǎn)生角位移 Z1如圖 (c)所示 。 B?第二步 ， 在基本結(jié)構(gòu)中 ， 只有荷載 q的作用 ，無轉(zhuǎn)角 Z1影響 ， 如圖 (b)所示 。 我們把加入附加剛臂后的結(jié)構(gòu)稱為位移法計(jì)算的 基本結(jié)構(gòu) 。 假設(shè)在結(jié)點(diǎn) B處加入一附加剛臂 [圖 (a)]， 附加剛臂的作用是約束 B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) ， 而不能約束移動(dòng) ， 即相當(dāng)于固定端 。 B?B?B?B?下面分為四步討論如何計(jì)算轉(zhuǎn)角 的問題 。 B?B?B?B?因此 ， 如把結(jié)點(diǎn) B的轉(zhuǎn)角 作為支座移動(dòng)看待 ，則上述連續(xù)梁可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)單跨超靜定梁 。 由于 B點(diǎn)為剛性結(jié)點(diǎn) ， 所以 ， 匯交于此點(diǎn)的各桿在該端將發(fā)生相同的轉(zhuǎn)角 。 為了說明位移法的基本概念 ， 我們來研究圖（ a） 所示的等截面連續(xù)梁 。 位移法的基本概念 位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量 ，由平衡條件建立位移法方程求解結(jié)點(diǎn)位移 ， 利用桿端位移和桿端內(nèi)力之間的關(guān)系計(jì)算桿件和結(jié)構(gòu)的內(nèi)力 ， 從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為單跨超靜定梁的計(jì)算問題 。 F11 MXMM ??4166 Fh????416 26 Fh?????F 位移法 力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)是以多余未知力為基本未知量 ， 當(dāng)結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)較高時(shí) ， 用力法計(jì)算比較麻煩 。 代入力法方程 ， 設(shè) ， 解得 lIhIk12?lFhkkX21661 ????6） 繪彎矩圖 。 分別繪出基本結(jié)構(gòu)在荷載及 X1=1作用下的彎矩圖 MF圖和 圖 ， 如圖 （ e， f） 所示 。 3） 建立力法方程 。 由于荷載是反對(duì)稱的 ， 在橫梁中點(diǎn)切口的兩側(cè)截面上彎矩和軸力 ， 都是對(duì)稱未知力 ， 所以均為零 。 2） 選取基本結(jié)構(gòu) 。 在對(duì)稱荷載作用下 [圖 （ b） ]， 如果忽略橫梁軸向變形 ， 則只有橫梁承受軸向壓力 F/2， 其他桿件無內(nèi)力 。 這是一個(gè)三次超靜定對(duì)稱剛架 ， 荷載為任意荷載 。 【 例 】 繪制圖示單跨對(duì)稱剛架的彎矩圖 。 綜上所述 ， 在用力法計(jì)算受任意荷載作用的對(duì)稱結(jié)構(gòu)時(shí) ， 只要選取對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu) ， 把荷載分解為對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載 ， 則基本未知量都是對(duì)稱未知力或反對(duì)稱未知力 ， 力法方程必然分成獨(dú)立的兩組 ， 其中一組只包含對(duì)稱未知力 ， 另一組只包含反對(duì)稱未知力 。 這時(shí)由于 圖和 圖是對(duì)稱的 ， 因此有 1M 2M0d11F ?? ? ? sEI MMΔlF0d22F ?? ? ? sEI MMΔlF(b)MF圖 由力法方程的前兩式可知 ， 對(duì)稱的多余未知力X1=X2=0。 由此得出結(jié)論： 對(duì)稱的超靜定結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下 ， 反對(duì)稱的多余未知力必為零 ， 只存在對(duì)稱的多余未知力 。 = (a)MF圖 (b)MF圖 0d33F ?? ? ? sEI MMΔlF當(dāng)結(jié)構(gòu)上的荷載為對(duì)稱荷載時(shí) ， 荷載作用于基本結(jié)構(gòu)的 MF圖為對(duì)稱的如圖 （ a） 所示 。 （ 2） 荷載分組 由于任何荷載都可以分解為對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載 ， 所以力法方程的自由項(xiàng) ， 也同樣可以簡(jiǎn)化 。 可以看出 ， 對(duì)稱的未知力 X1=1和 X2=1所產(chǎn)生的彎矩圖 圖和 圖以及變形圖是對(duì)稱的；反對(duì)稱的未知力 X3所產(chǎn)生的彎矩圖 圖和變形圖是反對(duì)稱的 。 梁的切口兩側(cè)有三對(duì)大小相等而方向相反的多余未知力 ， 其中 X X2是對(duì)稱力 ， X3為反對(duì)稱力 。 2. 對(duì)稱性的應(yīng)用 （ 1） 選取對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu) 當(dāng)結(jié)構(gòu)對(duì)稱時(shí) ， 應(yīng)考慮選取對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算 。 需要指出的是 ， 對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下 ，結(jié)構(gòu)的變形是對(duì)稱的 ， 如圖 （ b） 虛線所示；對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下 ， 結(jié)構(gòu)的變形也是反對(duì)稱的 ， 如圖 （ c） 虛線所示 。 即力的大小 、 方向相同 ， 力的作用點(diǎn)相對(duì)應(yīng) ［ 圖 （ b）］ 。 （ a） （ b） （ 2） 荷載的對(duì)稱性 作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的任何荷載 ［ 圖 （ a）］ 都可以分解為對(duì)稱荷載 ［ 圖 （ b）］ 和反對(duì)稱荷載［ 圖 （ c）］ 兩種 。 其中圖（ a） 所示的剛架 ， 有一根對(duì)稱軸 。 因此 ， 對(duì)稱結(jié)構(gòu)繞對(duì)稱軸對(duì)折后 ， 對(duì)稱軸兩邊的結(jié)構(gòu)圖形完全重合 。 即對(duì)稱結(jié)構(gòu)必須有對(duì)稱軸 。 在工程實(shí)際中 ， 許多結(jié)構(gòu)都具有對(duì)稱性 ， 利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化力法計(jì)算 。 對(duì)稱性的利用 用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)