華東師范大學,金融學,金融工程,課件第八章(編輯修改稿)
2024-09-19 07:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 時間價值 ? 消去公共項△，得到一個非常重要的關(guān)系，它 就是 BlackScholes偏微分方程。 ? 看漲期權(quán)將在時間 T時執(zhí)行，到期日的價值 C(ST,T)=max[STK,0]。求解這個偏微分方程就 得到 了 BlackScholes公式。 到期日的現(xiàn)金流 ? 到期日的現(xiàn)金流有三部分： (1)如果貸款沒有在 期權(quán)有效期內(nèi)連續(xù)歸還，做市商需支付最初的 貸款； (2)期權(quán)最終交割的收益； (3)St空頭寸的 最終支付。 ? 在到期日前的無限小的時間段 dt內(nèi)，標的資產(chǎn) 的價格非常接近 ST，記它為 ST。價格曲線 C(St,t)非常接近分段線性的期 權(quán)支付圖。因 此，對沖率 hT=Cs非常接近 0或者 1: ? 這意味著在時間 T,看漲期權(quán)多頭寸的收 益將 等于 St空頭 寸的損失。 ? 問題是： 做市商如何成功歸還最初的貸款 呢？只有一種方式。唯一能得到的現(xiàn)金就 是由 [t,T]內(nèi)進行對沖調(diào)整而產(chǎn)生的 (凈 )交易 收益的累積。只要方程 (44)對每個 ti都滿足 的話，被對沖的期權(quán)多頭寸就能產(chǎn)生剛剛 好的現(xiàn)金來歸還貸款。 一個例子 ? 詳見課本 P192193例題。 ? 結(jié)論：在期權(quán)的有效期內(nèi)，如果 St的波動率 比隱含波動率要大，多的凸頭寸就會有凈 利潤。 ? 本節(jié)有三個假設(shè)使記號和討論得到簡化： – 我們考慮一個固定點 S0附近的波動。在現(xiàn)實生活中，波動明 顯地發(fā)生在本身也在變動的點附近。在這種情況下，偏導數(shù) Cs和 Css將以更加復雜的方式變化。 – Cs和 Css也是時間 t的函數(shù)，隨著時間的推進，將產(chǎn)生其它變化。 – 在討論中， 假定 S處的波動保持不變 。而在現(xiàn)實生活中，波 動率將隨著時間改變且是隨機的。這一點本質(zhì)上不會改變我 們關(guān)于對沖調(diào)整收益的討論，但是，它將帶來做市商需要進 行對沖的 vega風險。 – 最后，應(yīng)該記住在 期權(quán)的有效期內(nèi)標的資產(chǎn)沒有分紅 。如果 支付了紅利或股息，則現(xiàn)金收益或損失的計算也要進行相應(yīng) 的調(diào)整。 期權(quán)工具 ? 利用 BlackScholes偏微分方 程可導出做市商經(jīng) 常使用的重要工具： – 第一個工具就是 BlackScholes公式，它給出了一個 普通的看漲 (看跌 )期權(quán)在特定假設(shè)下的無套利價格。 – 第二種工具由希臘字母組成。這些字母度量了一個期 權(quán)價格對不同市場參數(shù)變化的敏感性。 – 第三套工具是市場操作者提出的有關(guān)這些理論模型的 特別修正。 求解基本偏微分方程 ? 期權(quán)支付的凸度意味著一個套利論述，即由 St的 波動產(chǎn)生的凈收益 (損失 )的期望等于在同一時間 價值的衰減。這就導致了 BlackScholes偏微分 方程： （ 49） ? 以及邊界條件： C(T)=max[STK,0] （ 50） ? 使用有關(guān) St動態(tài)機理的特殊假設(shè)，這個偏微分方 程有解析解。這個解就是 BlackScholes公式的 市場基準。 . BlackScholes公式 ? 考慮以股票為標的資產(chǎn)的歐式普通看漲期權(quán)。期 權(quán)在 Tt時到期，執(zhí)行價為 K， St表示標的資產(chǎn)的 價格。 BlackScholes模型假定如下： – 無風險利率是 常數(shù) r； – 標的股票的 價格動態(tài)機理 可由如下的隨機微分方程來 描述 – 股票 不支付紅利 ，而且在區(qū)間 [t,T]內(nèi)沒有股份的分割 以及其他股東決議。 – 最后， 沒有任何交易成本和買入 賣出價差 。 ? 在上述假設(shè)下，我們可以求解偏微分方程 (49)和 (51)， 從而得到下面的 BlackScholes公式 ? 其中 d1,d2等于 ? N(x)代表標 準正態(tài)分布的累積函數(shù)。 ? 公式中， r, σ ,T和 K被看做參數(shù)，因為公式只有在這些 參數(shù)保持不變時才能表示成這種形式。變量是 St和 t，在 期權(quán)的有效期內(nèi)允許變化。 ? 希臘字母： C(t)關(guān)于變量 St和 t以及參數(shù) r,σ,T和 K 的偏導數(shù)。它們代表了期權(quán)價格對于變量以及參 數(shù)微
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