導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(編輯修改稿)
2024-12-18 17:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 8x. ∴ f?(x)=6x28. ∵ g(x)=bx2+c 的圖象也過點(diǎn) P(2, 0), ∴ 4b+c=0. 又 g?(x)=2bx, 4b=g?(2)=f?(2)=16, ∴ b=4. ∴ c=16. ∴ F(x)=2x3+4x28x16. 綜上所述 , 實(shí)數(shù) a, b, c 的值分別為 8, 4, 16. ∴ 2?23+2a=0. ∴ f?(2)=6?228=16. (2)由 (1)知 f(x)=2x38x, g(x)=4x216. ∴ F?(x)=6x2+8x8. 由 F?(x)0 得 x2 或 x 。 2 3 由 F?(x)0 得 2x . 2 3 ∴ F(x) 的單調(diào)區(qū)間為 : (∞ , 2)、 (2, ) 和 ( , +∞ ), 2 3 2 3 (∞ , 2) 上是增函數(shù) , 在 ( , +∞ )上也是增函數(shù) . 2 3 2 3 并且 F(x) 在 (2, ) 上是減函數(shù) , 在 典型例題 6 已知 a0, 函數(shù) f(x)= , x?(0, +∞ ), 設(shè) 0x1 . 記曲線 y=f(x) 在點(diǎn) M(x1, f(x1)) 處的切線為 l. (1)求 l 的方程 。 (2)設(shè) l 與 x軸的交點(diǎn)為 (x2, 0), 證明 : ① 0x2≤ 。 ② 若 x1 , 則 x1x2 . x 1ax 1 a 2 a 1 a 1 a (1)解 : f?(x)=( a)?=(x1)? 1 x =x2= . 1 x2 ∴ 切線 l 的 方程為 y= (xx1)+ . x1 1ax1 1 x12 (2)證 : 依題意 , 在切線 l 的 方程中令 y=0, 得 x2=x1(1ax1)+x1=x1(2ax1), ∴ ax12, 其中 0x1 . 2 a ∴ 2ax10. 又 x10, ∴ x2=x1(2ax1)0. ① 當(dāng) x1= 時(shí) , x2=a(x1 )2+ 取得最大值 , 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a ∴ 0x2≤ . ② 當(dāng) x1 時(shí) , ax11, 1 a ∴ x2=x1(2ax1)x1. 又由 ① 知 x2 , 1 a 1 a ∴ x1x2 . 課后練習(xí) 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : (1)y= + 。 (2)y=cos( x24)。 1+ x 1 1 x 1 1 2 (3)y=(sinx)cosx. 1x 2 解 : (1)∵ y= =2(1x)1, ∴ y?=2(1x)2(1x)? (2)y?=sin( x24)( x24)? 1 2 1 2 =xsin( x24). 1 2 (3)∵ y=(sinx)cosx=ecosx?lnsinx, ∴ y?=(ecosx?lnsinx)?
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