[高考]20xx屆高考考前50天沖刺--空間向量和立體幾何理數(shù)(編輯修改稿)
2025-09-13 04:29 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ……………………6分 （II）設(shè)點到面的距離為 …………8分 ,到面的距離 ………………………………10分 點到面的距離為9．在三棱錐P－ABC中，△PAC和△PBC都是邊長為的等邊三角形，AB＝2，O，D分別是AB，PB的中點．(1)求證：OD∥平面PAC；(2)求證：PO⊥平面ABC；(3)求三棱錐P－ABC的體積．（1）分別為的中點，∴∥又平面，平面∴∥平面．………………………4分（2）如圖，連結(jié)，為中點，, ∴⊥，．同理, ⊥，．………………6分又,∴,∴．∴⊥．⊥,⊥，,⊥平面．…………………………………………………………………8分（3）由（2）可知垂直平面∴為三棱錐的高，且．11如圖所示,三棱柱中,平面平面,又,與相交于點.(Ⅰ)求證:平面。(Ⅱ)求與平面所成角的正弦值。【解】(Ⅰ)由題知,所以為正三角形,所以,………………1分又因為,且所以為正三角形,………………………2分又平行四邊形的對角線相交于點,所以為的中點,所以…………………………3分又平面平面,且平面平面,…………4分且平面………………………………5分所以平面…………………………6分(Ⅱ)〖解法一〗連結(jié)交于,取中點,連結(jié), 則,又平面 所以平面,……7分 所以直線與平面所成角為.…………8分而在等邊中,所以,同理可知,在中,………………10分所以中,.所以與平面所成角的正弦值為.……………12分〖解法二〗由于,平面,所以平面,……7分 所以點到平面的距離即點到平面的距離, 由平面,所以到平面的距離即,…………………8分 也所以與平面所成角的正弦值為,…………………9分而在等邊中,所以,同理可知,所以,………10分又易證平面,所以,也所以,………………………11分所以即與平面所成角的正弦值為.，直角梯形與等腰直角所在平面互相垂直，為的中點，∥，.[（Ⅰ）求證：平面平面。來源（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求四面體的體積. 解：（Ⅰ）∵面面，面面，,∴面， 2分又∵面，∴平面平面. 4分（Ⅱ）取的中點，連結(jié)、則 ,又∵，∴， 6分∴四邊形是平行四邊形，∴∥，又∵面且面，∴∥面. 8分（Ⅲ）∵，面面=， ∴面.∴就是四面體的高，且=2. 10分∵==2=2，∥，∴∴ ∴13．如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。 （Ⅰ）求該幾何體的體積； （Ⅱ）求證：EM∥平面ABC； (Ⅰ)∵EA平面ABC,∴EAAB,又ABAC, ∴AB平面ACDE………………6分∵M為BD的中點， ∴MG∥CD且MG＝CD,于是MG∥AE,且MG＝AE,所以四邊形AGME為平行四邊形,∴EM∥AG, ∴EM∥. （本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.(Ⅰ)求證：平面 （Ⅱ）若求與所成角的余弦值； （Ⅲ）當(dāng)平面與平面垂直時，求的長. 證明：（Ⅰ）因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因為PA⊥⊥BD. 所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=∠BAD=60176。，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，則P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.（Ⅲ）由（Ⅱ）知設(shè)P（0，－，t）（t0），則設(shè)平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量 因為平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即解得所以PA=EF= SE=（10分）15．如圖所示，四棱錐PABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,過點A作AE⊥PB,AF⊥PC,連接EF． （1）求證：PC⊥面AEF； （2）若面AEF交側(cè)棱PD于點G（圖中未標(biāo)出點G）,求多面體P—AEFG的體積。解析：（1）證明：PA⊥面ABCD,BC在面內(nèi)，∴ PA⊥BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面PAB，又∵AE在面PAB內(nèi)∴ BC⊥AEAE⊥PB,BC∩PB=B, ,∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC內(nèi)AE⊥PC, AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥面AEF．………5分 （2）PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面PDC, ∵GF在面PDC內(nèi)∴AG⊥GF△AGF是直角三角形，由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=,EF=GF=∴, 又AF=,PF=∴,∴ ，在三棱錐中，平面，為側(cè)棱上一點，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）在的平分線上確定一點，使得平面，并求此時的長． 18.解：（1）因為平面，所以，又，所以平面，所以．由三視圖可得，在中，為中點，所以，所以平面，…………4分（2）由三視圖可得，由⑴知，平面，又三棱錐的體積即為三棱錐的體積，所以，所求三棱錐的體積．…………8分（3）取的中點，連接并延長至，使得，點即為所求．因為為中點，所以，因為平面，平面，所以平面，連接，四邊形的對角線互相平分，所以為平行四邊形，所以，又平面，所以在直角中，．…………12分，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面⊥平面，分別是的中點．（I）求平面平面；（II）若是線段上一點，求三棱錐的體積．（I）證明：，∴平面PAD， ………（6分）∵EF//CD，∴平面PAD，∵平面EFG，∴平面EFG平面PAD； （II）解：∵CD//EF，∴CD//平面EFG，故CD上的點M到平面EFG的距離等于D到平面EFG的距離，∴， ，平面EFGH平面PAD于EH， ∴D到平面EFG的距離即三角形EHD的高,等于∴．，在梯形中，，四邊形為矩形，平面平面，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設(shè)點為中點，求二面角的余弦值． (1)證明：則，則得，面平面，面平面平面． ……7分（II）過作交于點，連, 則為二面角的平面角，在中，，則二面角的余弦值為．，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，．（Ⅰ）求證：BE//平面ADF；（Ⅱ）若矩形ABCD的一個邊AB =，EF =，則另一邊BC的長為何值時，三棱錐F
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