[高考數(shù)學]16高考數(shù)學平面向量的綜合運用怎么考(編輯修改稿)
2025-09-13 04:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 任一點按向量平移，由這些點平移后的對應(yīng)點所組成的圖象是Cˊ，明確了以上點的平移與整體圖象平移間的這種關(guān)系，也就找到了此問題的解題途徑。②一般地，函數(shù)y＝f (x)的圖象按向量a＝(h , k)平移后的函數(shù)解析式為y－k＝f（x－h(huán)）例5．（2002年全國高考新課程卷）已知兩點M(－1，0)， N(1 , 0)，且點P使，，成公差小于零的等差數(shù)列.（Ⅰ）點P 的軌跡是什么曲線？（Ⅱ）若點P坐標為（x0、y0），記θ為與的夾角，求tanθ.[分析] 本題依托向量把解析幾何、三角、數(shù)列等知識很自然地融于一體,既考查了向量的長度、角度、數(shù)量積，又考查了軌跡方程、等差數(shù)列及同角三角函數(shù)間關(guān)系等重點知識，可謂一舉多得。[略解]（Ⅰ）設(shè)點P（x , y），分別計算出，，，由題意，可得點P的軌跡方程是 故點P 的軌跡是以原點為圓心、為半徑的右半圓。 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知，可得cosθ＝，又x0,∴即,于是sinθ＝＝＝＝，[變式] 已知兩個M（－1，0），N（1，0），點P使，，成公差小于零的等差數(shù)列，且向量與a＝（1，0）垂直，求點P的坐標。[ P＝（1，）或（1，－）]類型Ⅲ、平面向量與解析幾何的綜合運用由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設(shè)計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。在2004年全國高考Ⅰ、Ⅱ以及不少省市自主命題的高考卷中（如天津、湖南）都出現(xiàn)了平面向量與解析幾何綜合題。由此看來，向量與解析幾何相結(jié)合將是今后高考的重點和熱點，應(yīng)引起我們高度的重視。平面幾何與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問題。主要包括以下三種題型： 運用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關(guān)平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問題要簡捷的多。 例6．（2004年全國卷Ⅰ）設(shè)雙曲線C :－y2＝1(a＞0)與l : x＋y＝1相交于兩個不同的點A、B.（Ⅰ）求雙曲線C的離心率e的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)直線l 與y 軸的交點為P，且＝，求a的值。[略解] （I）略 （Ⅱ）設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2），P（0 , 1）聯(lián)立－y2＝1與x＋y＝1,消去y整理得 從而 ①由，即 有代入①式消去得再消去得 , 結(jié)合條件a＞0及滿足△＞0得.[變式1] （華中師大一附中2004年高三模擬卷改編）已知橢圓方程，過B（－1，0）的直線l交隨圓于C、D兩點，交直線x＝－4于E點，B、E分的比分λλ2．求證：λ1＋λ2＝0[證明] 設(shè)l的方程為y＝k(x＋1)，代入橢圓方程整理得（4k2＋1）x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0.設(shè)C（x1,y2）,D(x2,y2)則x1＋x2＝－.由得 所以.同理，記E得其中 .[變式2] （2004年高考天津卷）橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點F（c, 0）(c＞0)的準線l與x軸相交于點A, 過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。(Ⅰ)求橢圓的方程及離心率；(Ⅱ)若，求直線PQ的方程；(Ⅲ)設(shè)，過點P且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點M，證明：[簡解] (Ⅰ) 橢圓方程為,離心率 (Ⅱ)略. (Ⅲ) [證明] 設(shè)P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0），由已知得方程組：； 注意λ＞1，消去xy1和y2 得 因F（2 , 0）, M（x1,－y1），故而所以 .運用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長度、角度、垂直等問題運用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計算”出所要求的結(jié)果。例7．（2004年高考重慶卷）設(shè)p＞0是一常數(shù)，過點Q(2p,0)的直線與拋物線y2＝2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心），試證明拋物線頂點在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時直線AB的方程。[分析] 要證點O在圓H上，只要證OA⊥OB，可轉(zhuǎn)化為向量運算＝0，用向量運算的方法證明．（見圖1）[解答] 由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方程為：ky＝x－2p又設(shè)A（xA,yA）,B(xB,yB), 則其坐標滿足消去x，得y2－2pky－4p2＝0ky＝x－2py2＝2px 由此得xA＋xB＝4p＋k (yA＋yB) ＝(4＋2k2)p ， xAxB＝＝4P2因此＝xAxB＋yAyB＝0，即OA⊥OB故O必在圓H的圓周上。又由題意圓心H（xH , yH）是AB的中點，故由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且＝＝從而當k＝0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小。此時，直線AB的方程為：x＝2p.[變式1]（2004全國卷Ⅱ）給定拋物線C:y2＝4x，F(xiàn)是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點。（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求與夾角的大??；（Ⅱ）設(shè)＝λ，若λ∈[4 , 9]，
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