[高考數(shù)學(xué)]20xx年高考數(shù)學(xué)應(yīng)考復(fù)習(xí)精品資料解題技巧第二講__平面向量(編輯修改稿)
2025-02-05 16:30 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，考查推理和運(yùn)算能力 . 解： (Ⅰ )由題意得， f(x)＝ a ( bc? )=(sinx,－ cosx)(sinx－ cosx,sinx－ 3cosx) ＝ sin2x－ 2sinxcosx+3cos2x＝ 2+cos2x－ sin2x＝ 2+ 2 sin(2x+ 43? ). 所以， f(x)的最大值為 2+ 2 ，最小正周期是 22? ＝ ? . （Ⅱ）由 sin(2x+ 43? )＝ 0 得 2x+ 43? ＝ k.? ，即 x＝ 832 ???k ,k∈ Z， 于是 d ＝（ 832 ???k ，－ 2）， 23( ) 4,28kd ??? ? ?k∈ Z. 因?yàn)?k 為整數(shù)，要使 d 最小，則只有 k＝ 1，此時(shí) d ＝（― 8? ，― 2）即為所求 . 例 14．已知向量 a ＝ (sinθ， 1)， b ＝ (1， cosθ)，－ π2＜ θ＜ π2． （Ⅰ）若 a ⊥ b ，求 θ； （Ⅱ）求｜ a ＋ b ｜的最大值． 命題意圖 :本小題主要考查平面向量數(shù)量積和平面向量的模的計(jì)算方法、以及三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力 . 解：（Ⅰ）若 a ⊥ b ，則 sinθ＋ cosθ＝ 0， 由此得 tanθ＝－ 1(－ π2＜ θ＜ π2)，所以 θ＝－ π4； （Ⅱ）由 a ＝ (sinθ， 1)， b ＝ (1， cosθ)得 ｜ a ＋ b ｜＝ (sinθ＋ 1)2＋ (1＋ cosθ)2＝ 3＋ 2(sinθ＋ cosθ) ＝ 3＋ 2 2sin(θ＋ π4)， 當(dāng) sin(θ＋ π4)＝ 1 時(shí)， |a＋ b|取得最大值，即當(dāng) θ＝ π4時(shí)， |a＋ b|最大值為 2＋ 1． 例 15．如圖，三定點(diǎn) (2 ,1), (0 , 1), ( 2 ,1)。A B C??三動(dòng)點(diǎn) D、 E、 M 滿足 ,AD tAB BE tBC?? , [0,1].DM tDE t?? （ I）求動(dòng)直線 DE 斜率的變化范圍； （ II）求動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程。 2 y 1 1 1 x 1 A C D E B 圖 22 O 青島家教 鄭州家教 蘇州家教 天津家教 第 7 頁 共 14 頁 命題意圖 :本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、三角公式、 三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像和圓錐曲線方程的求法等基本知識(shí)， 考查推理和運(yùn)算能力 . 解法一 : 如圖 , (Ⅰ )設(shè) D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由 =t, = t , 知 (xD － 2,yD － 1)=t( － 2, － 2). ∴ ???xD=－ 2t+2yD=－ 2t+1 同理 ???xE=－ 2tyE=2t－ 1 . ∴ kDE = yE－ yDxE－ xD = 2t－ 1－ (－ 2t+1)－ 2t－ (－ 2t+2) = 1－ 2t. ∴ t∈ [0,1] , ∴ kDE∈ [－ 1,1]. (Ⅱ ) ∵ =t ∴ (x+2t－ 2,y+2t－ 1)=t(－ 2t+2t－ 2,2t－ 1+2t－1)=t(－ 2,4t－ 2)=(－ 2t,4t2－ 2t). ∴ ???x=2(1－ 2t)y=(1－ 2t)2 , ∴ y=x24 , 即 x2=4y. ∵ t∈ [0,1], x=2(1－ 2t)∈ [－ 2,2]. 即所求軌跡方程為 : x2=4y, x∈ [－ 2,2] 解法 二 : (Ⅰ )同上 . (Ⅱ ) 如圖 , =+ = + t = + t(－ ) = (1－ t) +t, = + = +t = +t(－ ) =(1－ t) +t, = += + t= +t(－ )=(1－ t) + t = (1－ t2) + 2(1－ t)t+t2 . 設(shè) M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x,y),由 =(2,1), =(0,－ 1), =(－ 2,1)得 ???x=(1－ t2) 2+2(1－ t)t 0+t2 (－ 2)=2(1－ 2t)y=(1－ t)2 1+2(1－ t)t (－ 1)+t2 1=(1－ 2t)2 消去 t 得 x2=4y, ∵ t∈ [0,1], x∈ [－ 2,2]. 故所求軌跡方程為 : x2=4y, x∈ [－ 2,2] 例 16 已知拋物線 x2＝ 4y 的焦點(diǎn)為 F， A、 B 是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 AF→ ＝ λFB→ （ λ＞ 0）．過A、 B 兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為Ｍ． （Ⅰ）證明 FM→ AB→ 為定值； （Ⅱ）設(shè)△ ABM 的面積為 S，寫出 S＝ f(λ)的表達(dá)式，并求 S 的最小值． 命題意圖 :本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、和圓錐曲線方程 ,以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力 . 解： (Ⅰ )由已知條件，得 F(0， 1)， λ＞ 0． 設(shè) A(x1， y1)， B(x2， y2)．由 AF→ ＝ λFB→ ， 即得 (－ x1， 1－ y)＝ λ(x2， y2－ 1)， y x O M D A B C －1 －1 －2 1 2 E 圖 3 青島家教 鄭州家教 蘇州家教 天津家教 第 8 頁 共 14 頁 ?????－ x1＝ λx2 ①1－ y1＝ λ(y2－ 1) ② 將①式兩邊平方并把 y1＝ 14x12， y2＝ 14x22 代入得 y1＝ λ2y2 ③ 解②、③式得 y1＝ λ， y2＝ 1λ，且有 x1x2＝－ λx22＝－ 4λy2＝－ 4， 拋物線方程為 y＝ 14x2，求導(dǎo)得 y′＝ 12x． 所以過拋物線上 A、 B 兩點(diǎn)的切線方程分別是 y＝ 12x1(x－ x1)＋ y1， y＝ 12x2(x－ x2)＋ y2， 即 y＝ 12x1x－ 14x12， y＝ 12x2x－ 14x22． 解出兩條切線的交點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 122xx? ， 122xx? )＝ ( 122xx? ，－ 1)． 所以 FM→ AB→ ＝ ( 122xx? ，－ 2)(x2－ x1， y2－ y1)＝ 12(x22－ x12)－ 2(14x22－ 14x12)＝ 0. 所以 FM→ AB→ 為定值，其值為 0． (Ⅱ )由 (Ⅰ )知在△ ABM 中， FM⊥ AB，因而 S＝ 12|AB||FM|． |FM|＝ (x1＋ x22 )2＋ (－ 2)2 ＝ 14x12＋ 14x22＋ 12x1x2＋ 4＝ y1＋ y2＋ 12 (－ 4)＋ 4＝λ＋ 1λ＋ 2＝ λ＋ 1λ． 因?yàn)?|AF|、 |BF|分別等于 A、 B 到拋物線準(zhǔn)線 y＝－ 1 的距離，所以 |AB|＝ |AF|＋ |BF|＝ y1＋ y2＋ 2＝ λ＋ 1λ＋ 2＝ ( λ＋ 1λ)2．
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