【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 粒子可能的位置數(shù)，并根據(jù) ρens(Γi) /ρens(Γj) 。計(jì)算組態(tài)能量值的變化。 () N1?? Metropolis蒙特卡羅方法 ? 正則和微正則系綜的 Metropolis方法 ? 在 Metropolis蒙特卡羅方法中，若對(duì)于系綜的 N個(gè)原子，都安排一個(gè)初始位置．就可以計(jì)算這種組態(tài)的哈密頓量。顯然，其系綜組態(tài)變化依賴于所給定的宏觀特性值；例如在正則和微正則系統(tǒng)中，其基本主要組分?jǐn)?shù)是給定的。 ? 在蒙特卡羅模型中，通過任意地或系統(tǒng)地改變粒子位置可以給出新的組態(tài)。例如，把原子的位置由 i變到 j就代表了系統(tǒng)狀態(tài)的變化，并記為 i→ j，在相空間它表示系統(tǒng)由 Γi點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 Γj點(diǎn)。根據(jù)所考慮的粒子之間的具體相互作用，這一位移將使系統(tǒng)能量由 H(Γi)變?yōu)?H(Γj)。然而．原子的這一任意位移并不影響系統(tǒng)的組成。 Metropolis蒙特卡羅方法 ? 在這一變化過程中系統(tǒng)的哈密頓量變化 ? ΔH(Гi→j ) = H(Гj) H(Гi) ? 如果新的能量值比變化前的能量值小，則該位移使得系統(tǒng)處于較低能量狀態(tài)。這時(shí)，變更即 被 接受且其位移原子保留在新的位置上。 ? 然而，如果新的能量值大于前一個(gè)能量值，則該變更僅以一 定概率 ρens(Γi) /ρens(Γj)被接受，在正則系統(tǒng)中這個(gè)概率由玻耳茲曼因子給出 () () ? ?? ? ? ?? ?jiie nsje ns H??? ??????? e xp Metropolis蒙特卡羅方法 ? 當(dāng) ΔH(Гi→j ) 取正值時(shí)，接受組態(tài)變化的概率可表示為 ? 根據(jù) Metropolis等人 (1953年 )的理論，若假定在 0和 1之間有一個(gè)隨機(jī)數(shù) ξ，則新的組態(tài)可按照下列定則確定： ? 如果新的組態(tài)被駁回，亦即沒有被接受，則把原位置記為新位置并記數(shù)一次，然后采用其他隨機(jī)選定的原子重復(fù)上述過程。 () ? ?? ?jiji Hp ?? ?? ???e x p? ?? ?? ?? ????????????不接受變更接受變更。e x p。e x pjijiHH???????() Metropolis蒙特卡羅方法 ? 巨正則系綜 ，其基本組分的濃度是沒有限定的。這樣，就可任意選擇一個(gè)原子并通過改變一次原子種類而得到一個(gè)新的組態(tài) j。顯然，這一過程將影響到系統(tǒng)的化學(xué)組成。 ? 同樣，組態(tài)的變更將以一定的概率被接受。在巨正則系綜，因其組成變化而引起的能量變化 ΔU(Гi→j ) 、也可由計(jì)算得到。對(duì)新的組態(tài)可按照下列標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷：如果得到的新的能量小于原來的能量，則組態(tài)的這一變更被接受，如果新能量大于原來的能量，則這一變更將以某一概率被接受。 ? 在巨正則系綜，當(dāng)能量變化 ΔU(Гi→j ) 為正值時(shí)，其組成改變被接受的概率可出下式給出： () ? ?? ?jiji Up ?? ?? ???e x p Metropolis蒙特卡羅方法 ? 式中， ΔU表示混合能及混合物化學(xué)勢(shì)改變量之和。同理，根據(jù)方程式 ()確定新的組態(tài)是否被接受。如果新組態(tài)不被接受，則把原組態(tài)記作新的組態(tài)，而后再任意地或系統(tǒng)地選擇其他原子重復(fù)上述過程。 自旋蒙特卡羅模型 ? 在固體物理學(xué)和材料科學(xué)等領(lǐng)域，當(dāng)處理離散空間晶格和局域相互作用等問題時(shí)，必須引進(jìn)考慮其他自由度的模型和方法。在這些方法中，能量變化通常是由于粒子自旋的翻轉(zhuǎn)引起的，而不是由于粒子的位移或粒子交換。這對(duì)于通過在晶格格點(diǎn)配置特性粒子而預(yù)測(cè)多體系統(tǒng)綜合特性來說，具有重要意義。 ? 在這些模型中，最簡(jiǎn)單的就是 1/2自旋伊辛 (Ising)模型，它可作為磁性材料或二元合金系的一個(gè)粗糙的近似方法。 q態(tài)波茨 (Potts)模型是原始伊辛模型的推廣或考慮多自旋之后的改進(jìn)形式。在原始伊辛模型中，自旋帶有一定的隨意性，不是一個(gè)很明確的物理量。在介觀尺度的計(jì)算材料學(xué)領(lǐng)域，基于波茨自旋模型的模擬方法具有特別重要的實(shí)用價(jià)值。 自旋蒙特卡羅模型 ? 通過存在于任意晶格上的粒子自旋的隨機(jī)翻轉(zhuǎn)，以及采用Metropolis蒙特卡羅抽樣方法對(duì)引起的能量變化加權(quán)平均，我們可計(jì)算得到這些自旋晶格模型的熱力學(xué)性質(zhì)及其演化。 ? 1/2自旋伊辛模型 ? 在 1/2自旋伊辛模型中，由在規(guī)則晶格格點(diǎn)上的原子或分子之間的對(duì)相互作用能求和，就可計(jì)算出系統(tǒng)內(nèi)能。如果用磁學(xué)的語言表述，則伊辛模型是由存在相互作用且與外部磁場(chǎng)也有互作用的自旋自由度的離散集構(gòu)成。 ? 原始的伊辛自旋模型僅考慮最近鄰相互作用。若在伊辛模型中考慮到長(zhǎng)程相互作用，則有時(shí)被稱為擴(kuò)展伊辛模型。 自旋蒙特卡羅模型 ? 原始的伊辛模型是研究固體中分子磁矩鐵磁性有序化的較為恰當(dāng)?shù)姆椒?。假定在格?i的自族變量 Si有兩個(gè)不同的狀態(tài)．亦即“自旋向上” Si ＝ +1或“自旋向下” Si ＝ 1。這較好的描述了 1/2自旋的情況，盡管自旋被賦予了經(jīng)典自由度以及沒有結(jié)出量子角動(dòng)量的對(duì)易規(guī)則。將伊辛模型擴(kuò)展成為一個(gè)真正的量子方法，是在海森堡模型中實(shí)現(xiàn)的。因?yàn)槊總€(gè)格座的自旋可假設(shè)只有兩個(gè)狀態(tài)，所以伊辛模型適宜于研究具有周期結(jié)構(gòu)的二元臺(tái)金的原子組態(tài)。由此可見，自旋就表示了各個(gè)格座的占有情況。 自旋蒙特卡羅模型 ? 對(duì)鐵磁有序化的經(jīng)典伊辛系綜，由最近鄰相互作用能推導(dǎo)的哈密頓量可表示為： ? 式中， J為有效相互作用能； B代表某個(gè)強(qiáng)度熱力學(xué)場(chǎng)變量，例如磁場(chǎng)； i， j表示對(duì)所有最近鄰進(jìn)行一對(duì)一對(duì)的求和；Si為自旋變量，其指向?yàn)楦褡?i處局域磁矩的方向。 ? 對(duì)于含有組分 A、 B、 C的三元合金型伊辛系統(tǒng)，其哈密頓量 HABC可寫為： () 1 ,I s i n g ????? ????iiijiji SSBSSJH 自旋蒙特卡羅模型 ? 式中， 表示 k球內(nèi) AB對(duì)的數(shù)目； Vij表示組分 i和 j的原子之間的相互作用能。對(duì)于每一種原子，比如 A，其總原子數(shù)的表達(dá)式為： () ? ?? ? ? ?????????????????????????????????????????kkkCCCkkkBBBkkkAAAkCCkBBkBCkBCkCCkAAkACkACkBBkAAkABkABnzVNzVNzVNVVVNVVVNVVVNH222 } 22 2{21A B CkABN() ? ?kACkABAAkA NNNzN ??? 21 自旋蒙特卡羅模型 ? 海森堡自旋模型 ? 伊辛模型只能應(yīng)用于自旋矢量與磁場(chǎng)引起的量子化方向平行或反平行的倩況。這就表明，伊辛模型的哈密頓量只有用于描述在自旋空間具有大的各向異性的磁體才是合效的。 ? 然而，在實(shí)際系統(tǒng)中，自族偏離量子化軸的漲落總是在一定程度上必然存在。對(duì)此，海森堡提出了一個(gè)適合的哈密頓量，即： () ? ?1, 3221133,//H e i s???????????????iixijixxxxjixxSSBSSSSJSSJHjijiji 自旋蒙特卡羅模型 ? 式中， x x2及 x3是自旋空間的笛卡爾軸； Ji表示各向異性作用能； B代表外場(chǎng)。若 J⊥ ＝ 0，則又返回到經(jīng)典伊辛模型，也就是方程式 ()。 ? 海森堡模型和伊辛模型最本質(zhì)的區(qū)別就在于，前者的自旋算符是不對(duì)易的，因而，海森堡模型不是一個(gè)經(jīng)典自旋模型，而是一個(gè)量子力學(xué)自旋模型。 自旋蒙特卡羅模型 ? q態(tài)波茨自旋模型 ? 在介觀尺度關(guān)于相變問題的預(yù)測(cè)研究方面， q態(tài)波茨模型具有特別的意義和作用。 ? 波茨模型的基本思想是：代替在伊辛模型中使用的二重自旋變量，而采用廣義自旋變量 Si，用其表示 q個(gè)可能狀態(tài)中的一個(gè)態(tài)；同時(shí)只計(jì)不同近鄰情況下的相互作用。對(duì)此，哈密頓量可由下式給出， () ? ? ,1,2, ,1,i nt qSJH iji SSP ot t s ji ????? ? ?? ? 自旋蒙特卡羅模型 ? 由式 ()可以看出，對(duì)于 δ型哈密頓量．當(dāng)近鄰格座上是相同自旋的粒子時(shí)其交換相互作用能為零；而當(dāng)近鄰為不同自旋的粒子時(shí)則有非零的交換相互作用能。 蒙特卡羅方法的誤差 ? 存在于蒙特卡羅近似方法中的主要誤差來源于隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器和統(tǒng)計(jì)處理方法。由數(shù)字計(jì)算機(jī)提供的隨機(jī)數(shù)，不但不是真正的互不相關(guān)，同時(shí)還表現(xiàn)出周期性。因此，在進(jìn)行大量的使用之前，對(duì)所用序列數(shù)的周期性進(jìn)行檢驗(yàn)是很有必要的。 ? 對(duì)數(shù)值蒙