【文章內(nèi)容簡介】 了． 性質(zhì) 4： 1X 和 2X 獨立同分布于 2()n? ，則隨機(jī)變量 2 1 1 21 [ ( ) / ] ( )2Y n X X X X t n?? 。 F 分布 定義 若有兩個正態(tài)分布的總體 211( , )N?? 和 222( , )N ?? ,我們欲 檢驗 21? 和 22? 是否第二章 一些常見統(tǒng)計分布 11 有顯著性差異，解決這個問題所用統(tǒng)計 量的分布就是本節(jié)欲介紹的 F 分布。在方差分析中 ，經(jīng)常需要檢驗?zāi)硞€因素是否對指標(biāo)有顯著地作用，這個問題也導(dǎo)致 F 分布。 在 多元統(tǒng)計中有許多復(fù)雜的分布，它們可以用 分 F 布來近似．不難看出， F 分布在統(tǒng)計 中的地位是相當(dāng)重要 的。 定義 1：若隨機(jī)變量 F 的概率密度函數(shù)為 22 2 21 ( ) ( 1 ) 0() ( , )2200m m m nmmx x xmn nnfxx?? ??????? ?????? （ ） 則稱 F 服從第一自由度為 m ，第二自由度為 n 的 F 分布，記為 ( , )F F m n 。 定義 2：若隨機(jī)變量 X 和 Y 獨立，且 2()Xm? ， 2()Yn? ，則 /XYF mn? 服從第一自由度為 m ，第二自由度為 n 的 F 分布，記為( , )F F m n 。 性質(zhì) 性質(zhì) 1：當(dāng) 2m? ， ()fx的眾數(shù)為 ( 2)( 2)nm??；當(dāng) 1m? 或 2 時， ()fx始終單調(diào)下降。當(dāng) 1m? 時，曲線從 ?? 單調(diào)下降趨于 0；當(dāng) 2m? 時，曲線從 1 單調(diào)下降趨于 0。 性質(zhì) 2：若 ( , )X F m n ， 1/YX? ,則 ( , )Y F n m 。 證明：由假設(shè) ( , )X F m n ，存在 2()Um? , 2()Vn? 且 U 與 V 獨立，使得 d nUX mV? ,從而 1 / ( , )d mVY X F n mnU?? 這個性質(zhì)在實際中非常有用，因為通常在教科書中列出的是 F 分布的右 ? 分位點，如用 , ()mnF ? 表示，即 ,( ( ) )mnP X F ????。但有時需要用到左 ? 分位點，即找 , (1 )mnF ?? 使得 ,( (1 ) ) 1mnP X F ??? ? ? ?。這個值 在 通常的表上查不到， 利用性質(zhì) 2可知 , ()nmF ? = ,1 / (1 )mnF ?? ， 利用這個關(guān)系就可獲得 , (1 )mnF ?? 。電子科技大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 12 性質(zhì) 3：若 ()X t n ，則 2 (1, )X F n . 在應(yīng)用中，利用這一關(guān)系有時將 t 檢驗化成 F 檢驗。 性質(zhì) 4：若 ( , )X F m n ，則 ()2nEX n? ? ， 2n? ； 222 ( 2 )() ( 2 ) ( 4 )n m nDX m n n??? ?? ， 2n? 。 性質(zhì) 5： F 分布的矩母函數(shù)并不存在。 性質(zhì) 6： ( 。 , )F xmn 可用正態(tài)分布來近似，其關(guān)系是 .( 。 , ) ( )F x m n y?? 其中 /22 ( 2 )2 ( 4 )x n nyn n mn m n???????，當(dāng) m 充分大， 4n? 時。 性質(zhì) 7： ( 。 , )X F x m n ,若令 , lnmnZX? ，則 m 當(dāng)和 n 都較大時， ,mnZ 的分布近似于 1 1 1 1 1 1( ( ) , ( ) )22N n m m n??。 第三章 常見統(tǒng)計分布間的關(guān)系 13 第三章 常見統(tǒng)計分布間的關(guān)系 二項分布與泊松分布的關(guān)系 定理一：在 n 重伯努 利試驗中，事件 A 在每次試驗中發(fā)生的概率為 np ，它與試驗次數(shù)有關(guān)，如果 lim 0nn np ??? ??，則對任意給定的 m ，有 [3] l im ( 1 ) , 0 , 1 , 2 , .. .!nnkk k n knn C p p e kk ?????? ? ? ? 由該定理 可知，當(dāng)二項分布 ( , )Bnp 的參 數(shù) n 很大， p 很小，而 np?? 大小適中時 [4] ，二項分布可用參數(shù)為 np?? 的泊松分布來近似，即 l im (1 ) !kk k n knn C p p ek ?????? ?? 這就是二項分布的泊松逼近。當(dāng)然 n 應(yīng)盡 可能的大，否則近似效果往往不佳。 二項分布的泊松逼近常常被應(yīng)用于研究稀有事件 （ 即每次試驗中事件出現(xiàn)的概率 p 很小 ） ，當(dāng)伯努利試驗次數(shù) n 很大時，事件發(fā)生的頻數(shù)的分布。實際表明，在一般情況下，當(dāng) ? 時，這種近似是很好的， 甚至 n 不必很大都可以，這點從比較二項分布與泊松分布的概率分布表也可以看出 。例如，當(dāng) ? 時，甚至 2n?時，這種近似程度已經(jīng)很好了。 表 31說明 了這一情況，其中 ? 。 表 31 二項分布與泊松分布的比較 K (1 )k k n knC p p ?? ( ) / !k n pnp e k? 0 1 2 二項分布與正態(tài)分布的關(guān)系 定理二 [10] ：設(shè)隨機(jī)變量 ( , ) ( 0 1 , 1 , 2 , ...)nX B n p p n? ? ?，則對于任意 x ，有電子科技大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 14 221l i m ( )( 1 ) 2x tnxX np x e dt xnp p ???? ??? ???? ? ? ? ???? ?? ?? ? 該定理表明，當(dāng) n 充分大時，二項分布可用正態(tài)分布來近似，即二項分布的正態(tài)逼近。例如， ( ) (1 )k k n knnP X k C p p ?? ? ?和 ()k k n knna k bP a X b C p q ???? ? ? ?在 n充分大時 計算是十分困難的。根據(jù)該定理，由于(1 )nX npnp p??近似服從 (0,1)N 或等價地 nX 近似服從 ( , (1 ))N np np p? ，于是可以近似地用正態(tài)分布來計算上述概率，即 ( ) ( 1 )k k n knnP X k C p p ?? ? ? 2()211 ()2k n pnpq k n pen p q n p q n p q???? ??? （ ） ()nP a X b??= ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nX npa np b npp np p np p np p? ????????????? ???? ( ) ( )( 1 ) ( 1 )b n p a n pn p p n p p??? ? ? ??? () 只要查一查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表就很容易得到 ()nP a X b??的相當(dāng)精確的值。原則上 ()式和（ ）式適用于任何給定的 p 和充分大的 n 。不過，當(dāng) p 較大或較小時近似效果較差，應(yīng)用時 p 最好滿足 ?? 。此外，由于我們用一個連續(xù)分布來近似離散分布，在實際應(yīng)用中，為了減少近似誤差，常用 [5] 0 . 5 0 . 5( ) ( ) ( )( 1 ) ( 1 )n b n p a n pP a X b n p p n p p? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 來代替（ ）式。 泊松分布與正態(tài)分布之間的關(guān)系 由前兩節(jié)可知二項分布既可以用泊松分布近似，也可以用正態(tài)分布近似。顯然，泊松分布和正態(tài)分布在一定條件下也具有近似關(guān)系，下面的定理說明泊松分布的正態(tài)逼近。第三章 常見統(tǒng)計分布間的關(guān)系 15 定理三 [3] ：對任意的 ab? ，有 221l im! 2b xkk ae e d xk ?? ??? ?? ??? ?? ?? ?，其中 ,ab? ? ? ??????? 如前文所述，二項分布的泊松近似和正態(tài)近似各自適用的條件是不同的。當(dāng) p很小時，即使 n 不是很大，用泊松分布近似二項分布，已經(jīng)相當(dāng)吻合。但是在這種情形下，用正態(tài)分布去近似二項分布，卻會產(chǎn)生較大的誤差。直觀上也可以想象得到， p 很小時， n 又不大，則 np?? 一定不 會太大。有定理可知，正態(tài)分布就不能很好地近似泊松分布，因此也就不能被泊松分布十分逼近的二項分布。 在 n 充分大， p 既不接近于 0也不接近 1時 ,用正態(tài)分布去近似二項分布，效果就較好。 表 32是用泊松分布與正態(tài)分布去近似二項分布 ( , )Bnp 的比較，其中 2 5 0 0 , 0 .0 2 , 5 0 , 7n p n p n p q? ? ? ?。可見，在數(shù)值上三者是大致相等的。表 32 泊松分布、正態(tài)分布、二項分布的比較 k B(2500,) N (50,7) P (50) 25 30 35 40 45 50 55 60 電子科技大 學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 16 65 70 75 由定理三易知，泊松分布 ()XP? 當(dāng) ??? 時的極限分布 是正態(tài)分布 ( , )N?? 。 進(jìn)一步討論泊松分布和正態(tài)分布的分布函數(shù)之間的近似關(guān)系。 定理四：分布函數(shù) 1()Fx和 2()Fx恒等的充分必要條件是它們的特征函數(shù) 1()x?和 2()x? 恒等。 命題 [11] 設(shè) ()XP? ( 0)?? ，泊松分布的分布函數(shù) ??!kkxP X x ek ?? ???? ? 與正態(tài)分布 ( , )N?? 的分布函數(shù) 2()21()2x yF x e d y????????? ? 是近似相等的。 證明： ( , )N?? 的特征函數(shù)是 212i t te ??? ，而 ()P? 的特征函數(shù)是 ( 1)itee? ? 。對任意的 itte? 的冪 級數(shù)展開為 231,2 3 !it t ite it? ? ? ? ?忽略 3t 以后各項，則有21 2it te it? ? ? ，于是 21( 1 ) 2it te i t ???? ? ?， 21() 2it titeee ??? ? ?? 。根據(jù)定理四可知，泊松分布 ()P? 的分布函數(shù) ??!kkxP X x ek?? ???? ?與正態(tài)分布 ( , )N?? 的分布函數(shù) 2()21()2x yF x e d y????????? ?近似相等，證畢。 2? 分布 與 正態(tài) 分布的關(guān)系第三章 常見統(tǒng)計分布間的關(guān)系 17 定義 [12] ：設(shè) ()nfx是一個密度函數(shù)序列， ()gx是正態(tài)分布 2( , )N?? 的密度函數(shù)。若 n?? 時， ( , ) 0nD f g ? ，則稱分布密度函數(shù) ()nfx一致漸近正態(tài)分布 2( , )N?? ，記作： 2( ) ( , ) , ( )nf x N n??? ? ?。 引理 1：（ 1） 39。 ( ) 1 1l n ( ) , ( 1 )( ) 2x x T x xx x x? ? ? ? ??； （ 2） 11l n ( ) l n 2 ( ) l n ( ) , ( 1 )22x x x x R x x?? ? ? ? ? ? ?。 其中， 1111()7 2 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 2 ( 1 )iiaTxx x x i x? ??? ? ?? ? ? ??； 1 2110 ( ) ( 1 ) ( ) 6 4 ( 1 )iiaRx x x x i x x? ??? ? ?? ? ?? ； 而 101 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) , 1ia x x x i x d x ii? ? ? ? ? ?? 。此引理可見文獻(xiàn) 。 眾所周知 , 自由度為 n 的 2? 分布的密度函數(shù) 是 / 2 1 / 2 / 2 1[ 2 ( / 2 ) ] 0()00n x nn e x xfxx? ? ?? ??? ??? 由于它是通過 n 個獨立同分布的正態(tài)變量的平方和來定義的 , 所以根據(jù)中心極限定理 , 它一定是漸近正態(tài)的。但是 , 從一致漸近正態(tài)分 布的定義可以看出 ，如能證明 2? 分布的一致漸近正態(tài)性，那么當(dāng)自由度很大時，常常因沒有 2? 分布表可查而用正態(tài)分布的分位點代替 2? 分布的分位點，會令人更覺方便可信。下面就來證明這一結(jié)果。 定理 1[13] ：若 ()nfx是自由度為