【正文】 首先根據(jù)各隨機(jī)變量的相應(yīng)分布，產(chǎn)生 N 組隨機(jī)數(shù) 1x ， 2x ， ? ， kx 值，計(jì)算功能函數(shù)值 iZ =g(1x ， 2x ， ? ， kx ) (i =1， 2， ? ， N)，若其中有 L 組隨機(jī)數(shù) 對應(yīng)的功能函數(shù)值 iZ ≤0 ，則當(dāng) N→∞ 時(shí)，根據(jù)伯努利大數(shù)定理及正態(tài)隨。蒙特卡羅法正是基于此思路進(jìn)行分析的。 蒙特卡羅方法的基本原理 由概率定義知，某事件的概率可以用大量試驗(yàn)中該事件發(fā)生的頻率來估算，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，可以認(rèn)為該事件的發(fā)生頻率即為其概率。對某些問題該方法的實(shí)際速度一般可比 Monte Carlo 方法提出高數(shù)百倍，并可計(jì)算精確度。我國數(shù)學(xué)家華羅庚、王元提出的 “ 華 — 王 ” 方法即是其中的一例。為提高方法的效率，科學(xué)家們提出了許多所謂的 “ 方差縮減 ”技巧。 Monte Carlo 方法能很好地用來對付維數(shù)的災(zāi)難，因?yàn)樵摲椒ǖ挠?jì)算復(fù)雜性不再依賴于維數(shù)。比如金融衍生產(chǎn)品（期權(quán)、期貨、掉期等）的定價(jià)及交易風(fēng)險(xiǎn)估算，問題的維數(shù)（即變量的個(gè)數(shù)）可能高達(dá)數(shù)百甚至數(shù)千。其基本思想是一樣的。 可用民意測驗(yàn)來作一個(gè)不嚴(yán)格的比喻。本世紀(jì) 40 年代電子計(jì)算 機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能。早在 17世紀(jì)，人們就知道用事件發(fā)生的 “ 頻率 ” 來決定事件的 “ 概率 ” 。 諾伊曼用馳名世界的賭城 — 摩納哥的 Monte Carlo— 來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。 二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來 ， 這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的 “ 曼哈頓計(jì)劃 ” 。 當(dāng) 0y? 時(shí)， ( ) 0, ( ) 0YYF y f y??； 當(dāng) 0y? 時(shí)， ??( ) ( )yYyF y P y X y f x d x?? ? ? ? ? ? 02 ( )y f x dx? ? 2YX? 的分布密度函數(shù) 12 12121()2()1( ) ( ) ()22nY nnnyfyn ny???????? ? ， 與第一自由度為 1，第二自由度為 n 的 F 分布的分布密度函數(shù)相同，因此 2 (1, )Y X F n? ，證畢。 t 分布與 F 分布的關(guān)系 定理 [18] 若隨機(jī)變量 X 服從自由度為 n 的 t 分布 ()X t n ，則變量 2YX? 服從第一自由度為 1，第二自由度為 n 的 F 分布，即 2 (1, )Y X F n? 。 證明 有命題 2的條件，知隨機(jī)變量 1 2 3( , , )F F F 的概率 元 1 2 3 1 2 3( , , )f y y y dy dy dy= 1 2 31 2 3 1 2 3( ) , ( ) , ( )F F Ff y f y f y dy dy dy= 2 2 1 2121222 2 21112 11()2[ ( ) ( 1 ) ]( ) ( )22m m m mmmmmyymm????????? 3 3 1 2 31 2 31332 2 2223 12 1 2 1 2()2[ ( ) ( 1 ) ]( ) ( )22m m m m mm m mmmyym mm m m m m?????????? ????第三章 常 見統(tǒng)計(jì)分布間的關(guān)系 25 1 2 3 31 2 31223 1 2 31 2 321[]2 ( )2m m m ym m m y e dy dy dym m m??? ? ??? ??? 。由此完成了命題一的證明。 證明 由 2 ( ) , , 1 , 2 , 3i i iX m m Z i? ???，知 12221 0 , 1 , 2 , 3() 2 ( )200iiim xmiXx e x imfxx??? ????? ??? ?? 由 1 2 3,X X X 相互獨(dú)立的隨機(jī)向量（ 1 2 3,X X X ）概率元 [7]電子科技大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 22 3 1 2 3121 2 31 1 12 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 331221( , , )2 ( ) ( ) ( )2 2 2m x x xmmm m mf x x x dx dx dx x x x e dx dx dxmmm??? ? ? ???? ? ? ?做變換 221113321 2 1 23 1 2 3///( ) / ( )xmyxmxmyx x m my x x x???????????? ? ? ???12 12121()2() 1( ) ( ) ()22nY nnnyfyn ny???????? ? 313 2211 2 1213123 2211 2 13231233212(1 ) (1 )(1 ) (1 )1yxm myym m mmyymxm myym m mmyymmxmymm??? ????? ???????? ??????????????? （ ） 為方便起見，記 2 1 3 1 2/ , / ( )A m m B m m m? ? ?，則（ ）式簡化為 322111 1 2 13 3 1 3221 2 1 2 2 13 1 2 3 2 332// ( 1 ) ( 1 )/( ) / ( ) ( 1 ) ( 1 )1yxmyxx m By Ayx m Ay yyxx x m m By Ayy x x x By yxBy???? ????????? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? 此變換的雅可比行列式為 1 2 31 2 3( , , )( , , )D x x xD y y y ?第三章 常見統(tǒng)計(jì)分布間的關(guān)系 23 33222 1 2 1 2 13 1 3 1222 1 2 1 2 13 22221( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0( 1 ) ( 1 )Ay ByBy Ay By Ay By AyAy ABy y AyBy Ay By Ay By AyBy ByBy By??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? 233221(1 ) (1 )AByBy Ay? ?? 再記 1 2 3 312212 ( ) ( ) ( )2 2 2m m mC mmm???? ? ? 于是，隨機(jī)變量 1 2 3( , , )X X X 的概率 元 1 2 3 1 2 3( , , )f x x x dx dx dx= 3 1 2 3121 1 12 2 2 21 2 3 1 2 3m x x xmmCx x x e d x d x d x??? ? ? ? ? 1 212 13 1 3 22 1 2 1[ ] [ ]( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )m my A y yCB y A y B y A y? ? ?? ? ? ? 3 3122 3 1 2 321 2 32 1 2 3( , , )()1 ( , , )m yB y y D x x xe d y d y d yB y D y y y? ??= 1 212 13 1 3 22 1 2 1[ ] [ ]( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )m my A y yCB y A y B y A y? ? ?? ? ? ? 3 312 22 3 321 2 3322 2 1()1 ( 1 ) ( 1 )m yB y y A B ye d y d y d yB y B y A y? ?? ? ? 3 3 1 2 32 2 1 21 1 12 2 2 2 2 21( 1 )m m m m mm m m mC A B y y y A y?? ?? ? ? ?? ? ? 1 2 3 3222 1 2 3(1 )m m m yB y e d y d y d y??????電子科技大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 24 2 2 1 21212 2 21 1 112()2[ ( 1 ) ]( ) ( )22m m m mmmA y A y dymm????????? 3 3 1 2 31 2 312 2 22 2 23 12()2[ ( 1 ) ]( ) ( )22m m m m mm m m B y B y d ym mm??????? ????? 1 2 3 31 2 3122331 2 321[]2 ( )2m m m ym m m y e dym m m??? ? ??? ??? 。 命題 1[16] 若 2 ( ) , , 1 , 2 , 3i i iX m m Z i? ???相互獨(dú)立。 , ) ( 0 , 1 ) , ( , )2 ( 4 ) 2 2 ( 4 )n n m n n n mf x m n N m nn m n n n m n? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 有了以上定理， 當(dāng)自由度都很大時(shí)，便可以利用正態(tài)分布表來查處相應(yīng)的概率值，所以這些結(jié)論是有實(shí)際意義的。( ) ( )22l n( ) l n( )( ) ( )22n m nE m X n nn m n???? ? ? ???? 定理 3 若 ( 。( ) ( )22l n( ) l n ,( ) ( )22mnmEXmn n??? ? ???39。和前面的分布一樣，仍需要有關(guān)引理： 引理 3[15] 設(shè) ( , )X F m n ，當(dāng) 4n? ，有 ① 222 ( 2 )( ) , ( )2 ( 2 ) ( 4 )n n n mE X D Xn m n n????? ? ? ② 39。 F 分布與正態(tài)分布的關(guān)系 由于 F 分布在正態(tài)母體的方差檢驗(yàn)和方差分析中極為重要，所以有必要討論其一致漸進(jìn)正態(tài)性。不難算出： 1 1 1( , ) l n ( 2 ) l n ( ) l n ( ) l n ( )2 2 2 2 2n n n nI f g n? ?? ? ? ? ? ?? 221 1 1 ( 2 )l n ( ) ( ) l n ( 1 ) ( )2 2 2 2n X X nn E E n? ??? ? ? ? （ ） 將引理 1，引理 2代入式（ ）并化 簡，可得 2211( , ) l n ( ) ( )2 2 2 2n nnI f g Rn n n? ? ??? 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2n n n nR T Tn? ? ?? ? ? 進(jìn)一步引用引理 1中關(guān)于 ()Rx， ()Tx的不等式且注意到 22 2 222l n ( ) l n ( 1 )2 2 2n n nn n n n n n??? ? ?? ? ? ? ? ? 可得： 222 1 1 1 1 1( , ) 2 ( 2 ) 2 8 ( 2 ) 6 ( 1 ) 3 6 ( 2 ) 3 6 ( 2 )n nI f g n n n n n n n n n?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 所以，當(dāng) n?? 時(shí)， ( , ) 0nI f g ? ?，F(xiàn)在證明當(dāng)n?? 時(shí)， ( , ) 0nI f g ? 。經(jīng)過一些計(jì)算，不難得到我們的如果 ，證畢。2 1( ) ( )22l n( 1 ) 1( ) ( )22nnXEnnn???? ? ????。 t 分布與正態(tài)分布的關(guān)系 用 ()X t n 表示隨機(jī)變量 X 服從自由度為 n 的 t 分布，其密度函數(shù)是 1221()2( ) ( 1 ) ,()2nnxf x xn nn ?????? 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