【正文】 xgxhJ bxyaxybxyaxyba ??????? ?????212e xp() ? ? ? ? ? ?439。引入權重函數 g(x)，則對積分 J得估算可以寫成： () ? ? ? ?? ? ? ?dxxgxgxhdxxhJ baba ?? ???????? 重要抽樣 ? 把變量 x換為 y(x) ? 則積分變?yōu)? ? 關于這個積分的蒙特卡羅近似求解前面已討論過，即隨機抽樣在區(qū)間 [y(x＝ a)， y(x＝ b)]上均勻分布的 n個點，然后對相應于 h(x)/g(x)的離散值取平均，即： () ? ? ? ?39。這就是說，所使用的偽隨機數是從非均勾分布中選取的。 重要抽樣 ? 把任意陡的被積函數變換成非常平滑的函數且調整積分區(qū)間的想法是至要抽樣法的基本思想。這就是說某些組態(tài)對積分有較大的貢獻、而另一些組態(tài)的重要性則可以忽略。首先，平均量應是多維積分．因為它們與 N個粒子的獨立坐標和動量矢量 (對于原子氣就有 6N個變量 )有依賴關系。若用概率密度 wNVT (Γ)表示，則： () ? ? ? ?????qq N V TN V T ????() ? ? ? ?? ???????????N V TN V TN V T wqwq 簡單抽樣 ? 對于蒙特卡羅積分法，采用多種 S個離散抽樣矢量 Γi，上式可以表示為 () ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ??????????????????siisiiisiisiiiMCN V THqHwqwqq1111e xpe xp???????? 重要抽樣 ? 描述多體系統(tǒng)狀態(tài)的大多數平均量都可以用積分形式表示。然而，必須借助統(tǒng)計力學方法才能從大量的微觀數據中獲得與宏觀性質有關的數據。每一矢量都代表在由所求積分表述的多維物體上的抽樣點。蒙待卡羅方法對較高維體系的積分誤差仍是 ，而這時梯形定則給出的誤差變?yōu)?1/m2/D，這里 D為維數。這種 認為自變數在所研究區(qū)間均勻分布，并隨機選擇被積函數值的蒙持卡羅方法就叫做簡單抽樣法或非權重隨機抽樣法。這種方法要求，在所研究的區(qū)間上應給出大量的分別由 m個無相關隨機數組成的鏈 (即馬爾科夫鏈 )。上述方法就相當于把 n個坐標 x x2… xn均勻分布于區(qū)間 [a,b]且認為每個點是等權重的，然后在 n個離散子集中通過抽樣被積函數值而給出積分的近似值，這樣一種積分方法又被稱為“確定性抽樣”。這就是說，近似值與所求積分真值之間的偏差隨 n趨于無窮大而變?yōu)榱?。由均勻分布中選取隨機數的積分方法稱為簡單抽樣蒙特卡羅方法。正是基于這種原因，將數學方法產生的隨機數稱為偽隨機數。 ??? ??? ,01x0 ,1)(其他點處當xf () 隨機數和偽隨機數 ? 偽隨機數 ? 偽隨機數是用數學方法產生的隨機數，在給定初值下，由以下的遞推公式 ? 確定 (n=1， 2， …) 。同時需要增添隨機數發(fā)生器和電路聯(lián)系等附加設備，費用昂貴。由蒙特卡羅方法解題一般過程可知，隨機數的產生是實現(xiàn) Monte Carlo方法的關鍵步驟，是 Monte Carlo模擬的基本工具。 由于這種辦法屬于半經驗性質，因此只能近似地具備隨機數性質。 隨機數和偽隨機數 ? 由單位矩形分布中所產生的簡單子樣稱為隨機數序列，其中的每一個體稱為隨機數。因此，隨機數是 Monte Carlo模擬的基本工具。隨機數就是具有這種均勻分布的隨機變量。各種概率模型具有不同的概率分布，因此產生已知概率分布的隨機變量，是實現(xiàn) Monte Carlo方法的關鍵步驟。對于本來不是隨機性質的確定性問題，比如計算定積分、解線性方程組及偏微分方程邊值問題等，要用蒙特卡羅方法求解，就必須事先構造一個人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求的問題的解。 基本思想和一般過程 ? 蒙特卡羅的一般過程 ? Monte Carlo的計算過程就是用數學方法在計算機上實現(xiàn)對隨機變量的模擬，以求得對問題的近似解。 ? 這個條件保證了，不管初始分布如何，馬爾科夫鏈中的狀態(tài)最終會遵從某個惟一的分布。 ? 絕對概率取向定理 ? 一個簡約的非周期性鏈，當且僅當它是一個遍歷鏈時，這個鏈具有一個不變分布。 1??kku() ??iijij puu() 基本思想和一般過程 ? 遍歷態(tài)定義 ? 一個狀態(tài)如果是非周期性的并且是經久的，具有一個有限的平均返回時間，則稱這個狀態(tài)是遍歷態(tài)。若溫度不變，則產生的狀態(tài)就相應于熱平衡分布 () () ? ? ? ????????? kT xHxp ii e xp () 基本思想和一般過程 ? 不變分布定義 ? 若一個概率分布 {uk}滿足以下條件 uk0， k=1， 2， …. ? 則稱概率分布 {uk}是不變的或定常的。因此將這些條件概率稱之為單步躍遷概率，或轉移概率。 () 基本思想和一般過程 ? 馬爾科夫鏈是一種隨機行走的運動狀態(tài)。 如果粒子跳到新的位置后就忘記了原來的格點位置，這就是隨機行走。 蒙特卡羅方法 直接方法 統(tǒng)計方法 可以分解為各個獨立過程的隨機性事件 數值求解多維定積分 基本思想和一般過程 ? Buffon投針實驗 ? 1768年，法國數學家 Comte de Buffon利用投針實驗估計 ?值 dLp?2?d L ? 長度為 l的針隨機地落在相距為 dl 的一組水平線之間，求針與線相交的概率？ ? 針相對于平行線的位置可以用一個隨機向量表示 ? 隨機向量平均分布在區(qū)間 [0,d) [0,?). ? 其概率密度函數為 1/d?. ? 針與平行線相交的概率為 ),0[),0[?? ?? dA??? ?? dldA dp ld20s i n01 ?? ? ? () 基本思想和一般過程 ? 馬爾科夫 (Markov)過程 ? 設一個系統(tǒng)的狀態(tài)序列為 x0,x1,…, xn,… ,如果對任何 n都有概率 p(xn|xn1 ,…, x1,x0) = p(xn|xn1) ? 則稱此序列為馬爾科夫序列或馬爾科夫鏈。這時就可以 根據待求隨機問題的變化規(guī)律和物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計規(guī)律人為地構造出一個合適的概率模型來模擬實際的物理過程，并按照該模型進行大量的統(tǒng)計實驗，使它的某些統(tǒng)計參量正好是待求問題的解。蒙特卡羅方法 基本思想和一般過程 ? 基本思想 ? 蒙特卡羅方法亦稱統(tǒng)計模擬方法 ? ?利用隨機數進行數值模擬的方法 ? 在物理問題中，通常要研究一些隨機變量的分布規(guī)律，比如分布函數的形式，分布參數的估值等。利用解析方法來求解非常困難，利用實驗研究隨機變量的分布需要反復進行大量的實驗，不僅耗資巨大，而且有些物理量或物理行為根本就難以測量或無法測量。這種方法稱為蒙特卡羅方法 。 ? 設將粒子的位置空間 (一維，二維或三維 )劃分為許多大小相等的網格。 如果粒子跳到新的位置后還記得原來的格點位置，并回避與走過的路徑交叉或重復，就叫做自回避行走。任何一次運動的結果僅僅依賴于前一次運動的結果，因此序列 x0, x1, …, xn發(fā)生的概率可以因式分解為 p(x0 x1 … xn1xn) = p(xn | xn1)… p(x1 | x0)p(x0) ? 初始狀態(tài)的絕對概率 p(x0)=1。 ? pij=p(xj | xi) = p(xi → xj) ? 從 MC模擬的應用來說，馬爾科夫鏈的最重要的性質是，存在著各個狀態(tài)的一個不變分布而最終狀態(tài)應當遵從某一特定分布。其中躍遷概率 {pij}形成一個隨機矩陣。一個由遍歷態(tài)組成的馬爾科夫鏈叫做遍歷的馬爾科夫鏈。這時對于一切的 k都有 uk0，并且不論其初始分布如何，各個絕對概率都趨于 uk。這個定律在計算物理學的模擬領域中具有基礎重要性。 ? 用蒙特卡羅方法解題的一般過程可歸結為以下三個步驟： ? (1) 構造或描述問題的概率過程 ? 對于本身就只有隨機性質的問題，如粒子輸運問題，主要是正確地描述和模擬這個概率過程。 基本思想和一般過程 ? (2) 實現(xiàn)從已知概率分布的抽樣 ? 有了明確的概率過程后，為了實現(xiàn)過程的數字模擬，必須實現(xiàn)從已知概率分布的隨機數的抽樣，進行大量的計算隨機模擬實驗，從中獲得隨機變量的大量試驗值。最簡單、最基本、最重要的一個概率分布是 (0， 1)上的均勻分布