【文章內(nèi)容簡介】 切信息 ,而又是排除一切與 ?無關(guān)的信息之后得到的結(jié)果。 后驗分布 ?(?? x )的計算公式就是用密度函數(shù)表示的貝葉斯公式。它是用總體和樣本對先驗分布 ?(? )作調(diào)整的結(jié)果，貝葉斯統(tǒng)計的一切推斷都基于后驗分布進行。 ? 是離散型隨機變量時，先驗分布可用先驗分布列 ?(?i)， i=1,2,… ， 表示。這時后驗分布也是離散形式 ???( | ) ( )( | ) 1 , 2 , .. .. ( 1 .2 )( | ) ( )iiijjjpxxipx? ? ???? ? ?假如總體 X也是離散的，只要把（ ）或（ ）中的密度函數(shù) p(x?? )作為概率函數(shù) p(X=x?? )即可。 二、后驗分布式三種信息的綜合 一般說來，先驗分布 ?(?)是反映人們抽樣前對的 ? 的認識，后驗分布 ?(? ? x )是反映人們在抽樣后對 ?的認識。它們之間的差異是由于樣本 x出現(xiàn)后人們對 ?認識的一種調(diào)整。所以后驗分布 ?(? ? x )可以看做是人們用總體信息和樣本信息（綜合稱為抽樣信息）對 ?(? )作調(diào)整的結(jié)果。 例 . 設(shè)某事件 A在一次試驗中發(fā)生的概率為 ? ，為估計 ? ，對試驗進行了 n次獨立觀測，其中事件 A發(fā)生了X次，顯然 X?? ?b(n,? )，即 這是似然函數(shù)。 假若我們在試驗前對事件 A沒有什么了解，從而對其發(fā)生的概率 ? 也沒有任何信息。在這種場合，貝葉斯本人建議采用 “ 同等無知 ” 的原則使用區(qū)間 （ 0,1） 上的均勻分布 U(0,1)作為 ? 的先驗分布，因為它取 （ 0,1）上的每一點的機會均等。貝葉斯的這個建議被后人稱為貝葉斯假設(shè)。 ( | ) ( 1 ) , 0 , 1 , ,x n xnP X x x nx? ? ? ???? ? ? ??????的先驗分布為 ??? ???其它,010,1)(??? 由此即可利用貝葉斯公式求出 ? 的后驗分布。具體如下：先寫出 X和 ? 的聯(lián)合分布 然后求 X的邊際分布 最后求出 ? 的后驗分布 最后的結(jié)果說明 ? 的后驗分布為 Be(x+1,nx+1)， ( , ) ( 1 ) , 0 , 1 , , , 0 1x n xnh x x nx? ? ? ????? ? ? ? ?????10( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )( 2 )x n x n x n xm x dxn? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???????( 1 ) 1 ( 1 ) 1( , ) ( 2 )( | ) ( 1 ) , 0 1( ) ( 1 ) ( 1 )x n xh x nxm x x n x?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?例 . 為了提高某產(chǎn)品的質(zhì)量，公司經(jīng)理考慮增加投資來改進生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計需投資 90萬元，但從投資效果看，下屬部門有 2種意見： ?1： 改進設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占 90﹪ ?2： 改進設(shè)備后，高質(zhì)量產(chǎn)品可占 70﹪ 經(jīng)理當然希望 ?1發(fā)生，公司效益可得很大提高，投資改進設(shè)備是合算的。但根據(jù)下屬兩個部門過去建議被采納的情況，經(jīng)理認為， ?1的可信程度只有 40﹪ ， ?2的可信程度是 60﹪ 。即 )(,)( 21 ?? ????這個都是經(jīng)理的主觀概率。經(jīng)理不想僅用過去的經(jīng)驗來決策，想慎重一些，通過小規(guī)模試驗后觀其結(jié)果再定。為此做了一項試驗，實驗結(jié)果（記為 A）如下： A：試制 5個產(chǎn)品，全是高質(zhì)量產(chǎn)品 經(jīng)理對此試驗結(jié)果很高興，希望用此試驗結(jié)果來修改他原來對 ?1和 ?2的看法，即要求后驗概率 ?(?1 ? x ) 和 ?(?2 ? x ) 。 ,5 9 )( 51 ???AP 52( ) 0 . 7 0 . 1 6 8 ,PA ? ??1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 3 3 7P A P A P A? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 7 0 0A P A P A? ? ? ? ???2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 3A P A P A? ? ? ? ???所以 21( ) 1 ( )AA? ? ? ???或經(jīng)理根據(jù)試驗 A的信息調(diào)整自己的看法，把對 ?1和 ?2的可信程度由 理的主觀概率和試驗結(jié)果而獲得的，要比主觀概率更貼近當今的實際，這就是貝葉斯公式的應(yīng)用 經(jīng)過試驗 A后，經(jīng)理對增加投資改進質(zhì)量的興趣增大。但因投資額大，還想再做一次小規(guī)模試驗，觀此結(jié)果在最決策。為此又做了一批試驗，試驗結(jié)果（記為 B）如下： 91( ) 1 0 0 . 9 0 . 1 0 . 3 8 7 ,PB ? ? ? ? ?92( ) 1 0 0 . 7 0 . 3 0 . 1 2 1 ,PB ? ? ? ? ?1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 3 0 7P B P B P B? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 8 8 3B P b P B? ? ? ? ???2( ) 0 . 1 1 7B?? ?所以 經(jīng)理看到經(jīng)過兩次試驗， ?1（ 高質(zhì)量產(chǎn)品可占 90﹪ ）的可信程度由 ，他能以 ﹪ 的把握保證此項投資能取得較大經(jīng)濟效益。 B：試制 10個產(chǎn)品，有 9個是高質(zhì)量產(chǎn)品 12( ) 0 .7 , ( ) 0 .3? ? ? ???總結(jié) ? 利用貝葉斯公式會由先驗分布求后驗分布。 練習(xí) 作業(yè)： ， (概率統(tǒng)計中的 ) 167。 一、共軛先驗分布 例 X?? ?b(n,? ) ，先驗分布為 U(0,1),即 Be(1,1) 后驗分布 Be(x+1,nx+1) ,其中 x為 n次獨立試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù) . Be(α ,β ) Be(α +x,β +nx) 定義 設(shè) ?是總體分布中的參數(shù)（或參數(shù)向量）， ?(?)是 ?的先驗密度函數(shù)，假如由抽樣信息算得的后驗密度函數(shù)與 ?(?)有相同的函數(shù)形式，則稱 ?(?)是 ?的 共軛先驗分布 。 注意 ：共軛先驗分布是對某一 分布 中的 參數(shù) 而言的。 離開指定參數(shù)及其所在的分布去談?wù)摴曹椣闰灧植际菦]有意義的 . 例 正態(tài)均值（方差已知）的共軛先驗分布是正態(tài)分布 . 設(shè) x1, x2,… ,xn是來自正態(tài)分布 N(?, σ2) 的一個樣本觀察值。其中 σ2已知。 樣本的似然函數(shù)為： 22111( | ) e x p ( )22n niip x x????? ?????? ? ??????? ???取另一正態(tài)分布 N(μ ,τ2)作為正態(tài)均值 ?的先驗分布，即 221 ( )( ) e x p ,22??? ? ?????? ?? ? ?? ? ? ??????其中 μ ,τ2為已知。 設(shè) x=（ x1, x2,… ,xn）與參數(shù) ? 的聯(lián)合密度函數(shù)為 1 222211 1 1 ( )( , ) e x p ( )222n ninih x x ????? ? ? ?????? ???? ? ? ??????? ???樣本 x的邊際密度函數(shù)為 22( /