【正文】 ? 。 定理 設(shè) x=(x1, x2, …, xn )是來自密度函數(shù) p ( x |? ) 的一個樣本， T =T(x） =T(x1, x2, …, xn)是統(tǒng)計量，它的密度函數(shù)為 p( t|?） ,又設(shè) H={?(?)}是 ?的某個先驗分布族，則 T(x） 為 ? 的 充分統(tǒng)計量 充要條件是對任一先驗分布 ?(?)∈ H，有 ?(?|T(x） )=?(?|x) 即用樣本分布算得的后驗分布與統(tǒng)計量算得的后驗分布是相同的 . 優(yōu)點 ：可以簡化計算。 1 1 2 2( ) ( , )x x d? ? ? ? ? ?? ?例如討厭參數(shù) ?2， 167。 總結(jié) ? ? 練習(xí) 作業(yè)： 167。 例 成功概率的共軛先驗分布為 Be(α ,β )，它含有兩個超參數(shù) . 注意： 一般來說，共軛先驗分布含有超參數(shù)，而無信息先驗分布一般不含超參數(shù)。 ?二項分布 b(n, ? )中的成功概率 ? 的共軛先驗分布是貝塔分布 Be(a,b)； ?泊松分布 P(? )中的均值 ? 的共軛先驗分布是伽瑪分布 Ga(?,?)； ?指數(shù)分布中均值的倒數(shù) ? 的共軛先驗分布是伽瑪分布 Ga(?,?)； ?在方差已知時，正態(tài)均值 ? 的共軛先驗分布是正態(tài)分布 N(?,? 2)。 例 設(shè) x1, x2,… ,xn是來自正態(tài)分布 N(?, σ2) 的一個樣本觀察值。 2 2 2 2 2101 1 1 1 ,n? ? ? ? ?? ? ? ?這表明后驗均值是在先驗均值與樣本均值間采取折衷方案。 設(shè)總體中 X ?b(n,? )， 先驗分布 Be(α ,β )， ?的 后驗分布 ?( | ) ( | ) ( )x p x? ? ? ? ?11( 1 ) ( 1 )x n x ??? ? ? ?? ? ?? ? ?11( 1 ) , 0 1x n x??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?這是貝塔分布 Be(α +x,β+nx) 的核 . ?的 后驗分布 11()( | ) ( 1 ) , 0 1( ) ( )x n xnxx n x????? ? ? ? ??????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?三、共軛先驗分布的優(yōu)缺點 共軛先驗分布的有兩個優(yōu)點 。假如把 m(x)省略，把貝葉斯公式改寫為如下等價形式 ?( | ) ( | ) ( ) ( 1 . 9 )x p x? ? ? ? ?其中 “ ∞ ” 表示兩邊僅差一個常數(shù)因子，一個不依賴于 ?的常數(shù)因子。 樣本的似然函數(shù)為： 22111( | ) e x p ( )22n niip x x????? ?????? ? ??????? ???取另一正態(tài)分布 N(μ ,τ2)作為正態(tài)均值 ?的先驗分布，即 221 ( )( ) e x p ,22??? ? ?????? ?? ? ?? ? ? ??????其中 μ ,τ2為已知。 一、共軛先驗分布 例 X?? ?b(n,? ) ，先驗分布為 U(0,1),即 Be(1,1) 后驗分布 Be(x+1,nx+1) ,其中 x為 n次獨立試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù) . Be(α ,β ) Be(α +x,β +nx) 定義 設(shè) ?是總體分布中的參數(shù)（或參數(shù)向量）， ?(?)是 ?的先驗密度函數(shù)，假如由抽樣信息算得的后驗密度函數(shù)與 ?(?)有相同的函數(shù)形式，則稱 ?(?)是 ?的 共軛先驗分布 。但因投資額大，還想再做一次小規(guī)模試驗，觀此結(jié)果在最決策。即 )(,)( 21 ?? ????這個都是經(jīng)理的主觀概率。貝葉斯的這個建議被后人稱為貝葉斯假設(shè)。所以后驗分布 ?(? ? x )可以看做是人們用總體信息和樣本信息（綜合稱為抽樣信息）對 ?(? )作調(diào)整的結(jié)果。 ? 是離散型隨機(jī)變量時，先驗分布可用先驗分布列 ?(?i)， i=1,2,… ， 表示。因此能用來對 ? 作出推斷的僅是條件分布 ?(? ? x)，它的計算公式是 1 1 1( , , ) ( , , , ) ( , , | ) ( )n n nm x x h x x d p x x d? ? ? ? ? ??????????( , ) ( | ) ( )( | ) ( 1 . 1 )() ( | ) ( )h x p xxmx p x d? ? ? ???? ? ? ??這就是貝葉斯公式的密度函數(shù)形式。 ? 作出推斷。這時樣本的 聯(lián)合條件概率函數(shù) 為 0( | )01( | )niip x p x???? ?這個分布綜合了總體信息和樣本信息，常稱為似然函數(shù)。 總結(jié) ? 理解貝葉斯統(tǒng)計學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的主要差別。由于產(chǎn)品的設(shè)計、生產(chǎn)都有一定的繼承性，這樣就存在許多相關(guān)產(chǎn)品的信息以及先驗信息可以利用， Byaes統(tǒng)計學(xué)派認(rèn)為利用這些先驗信息不僅可以減少樣本容量，而且在很多情況還可以提高統(tǒng)計精度；而經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)派忽略了這些信息。這一點頻率學(xué)派是頻率學(xué)派難以接受的，他們認(rèn)為經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)使用大量重復(fù)試驗的頻率來確定概率，是“ 客觀的 ” ，因此符合科學(xué)的要求，而認(rèn)為貝葉斯統(tǒng)計是 “ 主觀的 ” ，因而（至多）只對個人決策有用。 可這個陳述在經(jīng)典統(tǒng)計中是不允許的。于是學(xué)生們對新教師的年齡（未知量）的認(rèn)識（先驗信息）可綜合為圖 ，這也是學(xué)生們對未知量（新教師的年齡）的概率表述。 例 學(xué)生估計一新教師的年齡。 忽視先驗信息的利用，有時是一種浪費，有時還會導(dǎo)出不合理的結(jié)論。使用單位就可以對它做出 “ 免檢產(chǎn)品 ” 的決定，或者每月抽檢一、二次就足夠了，這就省去了大量的人力和物力。在經(jīng)過一段時間后就積累大量的資料，根據(jù)這些歷史資料（先驗信息的一種）對過去產(chǎn)品的不合格品率可構(gòu)造一個分布： niniP i , . . . ,1,0,)( ??? ??這個對先驗信息進(jìn)行加工獲得的分布今后稱為 先驗分布 。 在這兩個統(tǒng)計試驗中，假如認(rèn)為被試驗者是在猜測，每次成功的概率為 ，那么 10次都猜中的概率為 210=，這是一個很小的概率，是幾乎不可能發(fā)生的，所以 “ 每次成功概率為 ”的假設(shè)應(yīng)該被拒絕。對此做了 10次試驗，她都正確地說出了。先驗 信息在日常生活和工作中是很重要的。 ?隨著經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的持續(xù)發(fā)展與廣泛應(yīng)用，它本身的缺陷也逐漸暴露出來了。 ?經(jīng)典統(tǒng)計學(xué) ：基于以上兩種信息進(jìn)行的統(tǒng)計推斷被稱為 經(jīng)典統(tǒng)計學(xué) 。 ? 例如 ：”總體是正態(tài)分布“ ? 說明 ：總體信息是很重要的信息，為了獲取此種信息往往耗資巨大。下面從統(tǒng)計推斷的三種信息來說明他們之間的區(qū)別與聯(lián)系。閱讀這些內(nèi)容僅需要概率統(tǒng)計基本知識就夠了。時至今日，其影響日益擴(kuò)大。 “貝葉斯提出了一種歸納推理的理論 (貝葉斯定理 )，以后被一些統(tǒng)計學(xué)者發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷方法，稱為貝葉斯方法 .”──摘自 《 中國大百科全書 》 （數(shù)學(xué)卷） 英國學(xué)者 1763年在 《 論有關(guān)機(jī)遇問題的求解 》 中提出一種歸納推理的理論，后被一些統(tǒng)計學(xué)者發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷方法，稱為貝葉斯方法。貝葉斯統(tǒng)計 山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院 張愛 Bayesian Stat