【正文】 以 95%的置信水平求該學校在校學生的平均體重的置信區(qū)間。試給出該批產(chǎn)品的廢品率的區(qū)間估計（置信度是 90%）。 （ 2）樣本平均數(shù)等于或超過 62023元的可能性有多大？ 96 ? 某公司 1000名職工的人均年獎金為 20230元，標準差 5000元，從中隨機抽取 36人作為樣本進行調(diào)查，求： （ 1）樣本平均數(shù)的數(shù)學期望和標準差 （ 2）樣本的人均年獎金在 19000— 22023元的概率有多大？ 97 ? 在某天生產(chǎn)的 500袋食品中，按重復抽樣方法隨機抽取 25袋進行調(diào)查，測得平均每袋的重量為 996克。 7．在給定的置信度與極限誤差的前提下，樣本容量 n可利用極限誤差、臨界值與抽樣標準差三者間的數(shù)量關(guān)系去計算。樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布，即2~ ( , )XXN ??；當 n 充分大時，樣本比例近似服從正態(tài)分布( 1 ),Nn??????????；統(tǒng)計量 22( 1 )nS??服從自由度為)1( ?n的2?分布。 本章小結(jié) 93 3 ． 總體分布的數(shù)量特征就是總體的參數(shù)，也是統(tǒng)計推斷的對象。將 A列命名為“ x”，將 B2單元格命名為“置信水平”。 1．構(gòu)造工作表。采用隨機重復抽樣方式，需要在 % 的概率保證下，抽樣平均電流的誤差范圍不超過 安培，抽樣合格率誤差范圍不超過 5% ，試求必要的抽樣單位數(shù)。按歷史上的兩次調(diào)查資料，分 別 計 算 比 例 的 方 差 為 ： ( 1 5 ) =0. 1 125 ，和 ( 1 3 ) = 131 。 84 ? ，需要同時估計總體均值與比率，可用上面的公式同時計算出兩個樣本容量，取其中較大的結(jié)果，同時滿足兩方面的需要。即在給定的置信水平下，允許誤差越大，樣本容量就可以越??；允許誤差越小，樣本容量就必須加大。 這時 ， 需要考慮在給定的置信度與極限誤差的前提下 ，樣本容量 n究竟取多大合適 ？ 這就是所謂樣本容量的確定問題 。 （二）區(qū)間估計 76 【例 5 6 】 某公司生產(chǎn) 一種健康食品，對每罐食品的重量有一定規(guī)定，不允許有過大的差異。 300???= 因此，所求電視機擁有率的置信區(qū)間為 8 1 ? + ， 即（ 19 ， ）?？傮w比例可以看成是一種特殊的平均數(shù)，類似于總體均值的區(qū)間估計，總體比例的區(qū)間估計是： pzP ??2? (5 .3 1 ) 式中的樣本比例標準差在放回抽樣條件下是： ? ?nPPp??1? 在不放回抽樣的條件下是： ? ?11????NnNnPPp? 72 【例 5 5 】 在某市區(qū)隨機調(diào)查了 300 個居民戶，其中 6 戶擁有等離子電視機。 解：樣本平均數(shù) X = 16 XS=Sn= 56= 610 . 0 5 / 2()t ? ? ? ==/2( n 1 ) Stn?= 04= 25 所求 μ 的置信區(qū)間為： 16 0. 0525 μ 16+ ，即（ ， 16 .05 ）。 按照與總體方差已知 場合相 類似的方法，對 X 進行標準變換后得到： t =xXS? （ ） 數(shù)學上可以證明 , 當總體為正態(tài)分布時，式（ ）服從自由度為1?n的 t 分布。對該城市居民戶均用于報刊的消費支出做區(qū)間估計 (置信水平為 95% )。從某日生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機抽取 6 個，測得平均直徑為 16厘米，試在 0 .95 的置信度下，求該產(chǎn)品直徑的均值置信區(qū)間。如果我們在圖 5 1 的兩個尾部各取面積 α /2 ，臨界值（我們把截取尾部面積的橫坐標點叫做臨界值）分別為 /2z ?和 +/2z ?，那末，顯然有： ? ?/ 2 / 2 1P z Z z?? ?? ? ? ? ? （ ） 57 58 將式（ ）代入式（ ）得到： / 2 / 21XXP z z??????? ?? ? ? ? ????? （ ） 在式（ ）的括號內(nèi)做不等式的等價變換后得到： ? ?/ 2 / 2 1XXP X z X z?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 4 ） 通常，我們先給出置信度??1的具體數(shù)值，根據(jù)這個數(shù)值查標準正態(tài)分布表求得/2z ?值，然后計算置信區(qū)間的上下限。根據(jù)簡單隨機樣本的定義，自然有，各個 Xi（ i =1 ， 2 ，?， n ）獨立，并且與 X 有相同的分布，即 ? ?2,~ ??Nxi。在區(qū)間估計中，置信度十分重要。允許誤差的最大值，可通過極限誤差來反映。即： P ( ???? 21 ???) =1 α (5 .19 ) 式中被 ?1?和 ?2?框定的 區(qū)間叫做 置信區(qū)間 。用公式表示就是： 1l i m ???????????????pn (5 .18 ) 4. 充分性。 ?? 的數(shù)學期望值等于 θ 。 參數(shù)估計有兩種基本形式：點估計和區(qū)間估計?，F(xiàn)隨機抽查 36 個零件，試求其樣本標準差大于 的概率?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品進行檢驗，問樣本合格率大于等于90%的概率是多少？ 40 ? 例：一種電子元件的合格率是 98%。 這里大樣本的條件是： n?和 n( 1 ?)都要大于等于 5 。 1NPn? （ 1 ） 34 根據(jù)上一章的介紹，我們知道， N1服從二項分布，它的數(shù)學期望是n ?，方差是( 1 )n ?? ?。若知該地區(qū)家庭的人人均年收入服從正態(tài)分布，現(xiàn)采用重復抽樣從總體中隨機抽取 25戶進行調(diào)查，求： （ 1）樣本平均數(shù)的數(shù)學期望、樣本平均數(shù)的標準差。 29 【 例 5 4 】 160 件電子元器件重量的均值為 5. 02 克，標準差為 克，從中采用不放回方式隨機抽取 64 件，試求：（ 1 ）樣本平均數(shù)的期望值與方差； （ 2 ）總重量在 克與 5. 00 克之間的概率。 28 ? （二）樣本平均數(shù)的分布規(guī)律 當總體 X 服從正態(tài)分布時，根據(jù)正態(tài)分布的再生定理，樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布，即2~ ( , )XXN ??。而樣本平均數(shù)的標準差為 ： ?????????12NnNnx?? ( 5 . 1 0 ) 上式中的 N 為總體單位數(shù)。 22 2. 樣本比例的中心極限定理 從任一總體比例為?、方差為)( ?? ?1的（ 0 ，1 ）分布總體中，抽取容量為 n 的樣本，其樣本比例 P 的分布會隨著 n 的增大而趨近于平均數(shù)為?，標準差為p?的正態(tài)分布。對于從非正態(tài)分布的總體中抽取的樣本平均數(shù)的分布問題，需要由中心極限定理來解決。但是，對總體的大量觀察后進行平均，就能使偶然因素的影響相互抵消，消除由個別偶然因素引起的極端性影響，從而使總體平均數(shù)穩(wěn)定下來，反映出事物變化的一般規(guī)律。 14 第 二 次 抽 取 可 能 被 抽 中 的 人 員 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第 一 次 抽 取 可 能 被 抽 中 的 人 員 1 1,1 (1) 1,2 () 1,3 (2) 1,4 () 1,5 (3) 1,6 () 1,7 (4) 1,8 () 1,9 (5) 1,10 () 2 2,1 () 2,2 (2) 2,3 () 2,4 (3) 2,5 () 2,6 (4) 2,7 () 2,8 (5) 2,9 () 2,10 (6) 3 3,1 (2) 3,2 () 3,3 (3) 3,4 () 3,5 (4) 3,6 () 3,7 (5) 3,8 () 3,9 (6) 3,10 () 4 4,1 () 4,2 (3) 4,3 () 4,4 (4) 4,5 () 4,6 (5) 4,7 () 4,8 (6) 4,9 () 4,10 (7) 5 5,1 (3) 5,2 () 5,3 (4) 5,4 () 5,5 (5) 5,6 () 5,7 (6) 5,8 () 5,9 (7) 5,10 () 6 6,1 () 6,2 (4) 6,3 () 6,4 (5) 6,5 () 6,6 (6) 6,7 () 6,8 (7) 6,9 () 6,10 (8) 7 7,1 (4) 7,2 () 7,3 (5) 7,4 () 7