20xx年高考全國百所名校數(shù)學(xué)壓軸題精選(編輯修改稿)
2025-09-04 16:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∴∴當(dāng)時，方程有兩解?。á螅┮C：只需證 只需證 設(shè)， 則 由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減∴，即是減函數(shù)，而mn∴，故原不等式成立。 13.【安徽省合肥七中2009屆高三第五次月考（理）22．】 (本小題滿分14分) 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，過F1的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn). （1）如果點(diǎn)A在圓（c為橢圓的半焦距）上，且|F1A|=c，求橢圓的離心率； （2）若函數(shù)的圖象，無論m為何值時恒過定點(diǎn)（b，a）， 求的取值范圍?！ 窘馕觥浚海?）∵點(diǎn)A在圓， 由橢圓的定義知：|AF1|+|AF2|=2a， （2）∵函數(shù) ∴ 點(diǎn)F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0）， ①若， ∴ ②若AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，則AB的方程為y=k（x+1） 由…………（*） 方程（*）有兩個不同的實根. 設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是方程（*）的兩個根 由①②知 14.【2009年天津市高三年級能力測試（）22. 】（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)，平行于的直線在軸上的截距為，交橢圓于兩個不同點(diǎn) ?。?）求橢圓的方程；?。?）求的取值范圍； （3）求證直線與軸始終圍成一個等腰三角形?！ 窘馕觥浚海?）設(shè)橢圓方程為 則解得所以橢圓方程（2）因為直線平行于OM，且在軸上的截距為又，所以的方程為： 由因為直線與橢圓交于兩個不同點(diǎn)， 所以的取值范圍是?！。?）設(shè)直線的斜率分別為，只要證明即可 設(shè)，則 由 可得而 故直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形?！ ?15.【2009年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試20.】設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù). ?。?）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論； ?。?）證明：； ?。?）對于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值. 【解析】（1）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù). …… 2分 對于函數(shù)，設(shè) ，則 ， ， 函數(shù)在上單調(diào)遞增. …… 4分（2） 原式左邊 . …… 6分 又原式右邊. . …… 8分?。?）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 的最大值為，最小值為. 當(dāng)時， 函數(shù)的最大、最小值均為1. 當(dāng)時，函數(shù)在上為單調(diào)遞增. 的最大值為，最小值為. 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 的最大值為，最小值為. …… 11分 下面討論正整數(shù)的情形： 當(dāng)為奇數(shù)時，對任意且 ， 以及 ， ，從而 . 在上為單調(diào)遞增，則 的最大值為，最小值為. …… 14分 當(dāng)為偶數(shù)時，一方面有 . 另一方面，由于對任意正整數(shù)，有 ， . 函數(shù)的最大值為，最小值為. 綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時，函數(shù)的最大值為，最小值為. 當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)的最大值為，最小值為. …… 18分 16.【2009年高考桂林市、崇左市、賀州市、防城港市聯(lián)合調(diào)研考試(文)22.】（本小題滿分12分） 已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足. ?。á瘢┊?dāng)點(diǎn)在軸上移動時，求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點(diǎn)，且1, 0,，求實數(shù)， 使，且. 【解析】：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得. …………2分 由,得，即. …………… 4分 又點(diǎn)在軸的正半軸上，∴.故點(diǎn)的軌跡的方程是. …………………………………………………………6分?。á颍┯深}意可知為拋物線：的焦點(diǎn)，且、為過焦點(diǎn)的直線與拋物 線的兩個交點(diǎn),所以直線的斜率不為. ……………………………………7分 當(dāng)直線斜率不存在時，得，不合題意； ……8分 當(dāng)直線斜率存在且不為時，設(shè)，代入得 ， 則，解得. …………10分 代入原方程得，由于，所以，由, 得，∴. ……………………………………………………12分 17.【東北三省四市長春、哈爾濱、沈陽、大連第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)(理)22.】 (本小題滿分12分) 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸上運(yùn)動，且，動點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，定點(diǎn)，直線交曲線于另外一點(diǎn)． (1)求曲線的方程； (2)求面積的最大值． 【解析】：本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查軌跡的求法以及綜合解題能力?！〗猓?1)設(shè)，則 ∵,∴，∴， 又，∴∴曲線的方程為 (2)由(1)可知， (4，0)為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線方程為 ，由消去得， ∴ ∴ ， 當(dāng)，即時取得最大值，此時直線方程為. 18.【2009年安慶市高三模擬考試（二模）（文）22.】 （本小題滿分13分）如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM的直線L在y軸上的截距為m(m≠0)，L交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)。 ?。?）求橢圓的方程；?。?）求m的取值范圍；?。?）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。 【解析】：（1）設(shè)橢圓方程為,則. ∴橢圓方程為 ……………………4分?。?）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m, 又KOM=, ，聯(lián)立方程有 ， ∵直線l與橢圓交于A．B兩個不同點(diǎn)， …………8分（3）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可設(shè)， 則 由而 故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形
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