【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1， 0]，值域也為 [－ 1， 0].若數(shù)列 }{nb 滿足 )()( *3 Nnnnfbn ?? ，記數(shù)列 }{nb 的前 n 項(xiàng)和為 nT ，問(wèn)是否存在正常數(shù) A，使得對(duì)于任意正整數(shù) n 都有 ATn? ？并證明你的結(jié)論。 解析 :首先求出 xxxf 2)( 2?? ,∵ nn nnnnfbn 12)( 323 ???? ∴ nbbbbT nn 131211321 ?????????? ??,∵ 214124131 ???? , 2181481716151 ????? ,… 212122122 112 1 111 ???????? ??? kkkkk ?,故當(dāng) kn 2? 時(shí) , 12??kTn , 因此，對(duì)任何常數(shù) A，設(shè) m 是不小于 A 的最小正整數(shù)， 則當(dāng) 222 ?? mn 時(shí) ,必有 AmmTn ????? 12 22 . 故不存在常數(shù) A 使 ATn? 對(duì)所有 2?n 的正整數(shù)恒成立 . 例 24.(2020 年 中學(xué)教學(xué)參考 )設(shè)不等式組 ??????????nnxyyx3,0,0表示的平面區(qū)域?yàn)?nD, 設(shè) nD內(nèi)整數(shù)坐標(biāo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 na .設(shè) nnnn aaaS 221 111 ???? ?? ?, 當(dāng) 2?n 時(shí) ,求證 : 36 1171111 2321 ?????? naaaa n?. 解析 :容易得到 nan 3? ,所以 ,要證 36 1171111 2321 ?????? naaaa n?只要證 12 11721312112 ??????? nS nn ?,因?yàn)閚nnnS 2122 112 1()81716151()4131(211 112 ??????????????? ?? ?? 12 117)1(12723211 121 222 ??????????? ? nnTTT n?,所以原命題得證 五 、 迭代 放縮 例 25. 已知 1,14 11 ????? xxxx nnn ,求證 :當(dāng) 2?n 時(shí) , nni ix ?? ???? 11 22|2| 解析 :通過(guò)迭代的方法得到 1212 ??? nnx ,然后相加就可以得到結(jié)論 例 26. 設(shè) nn nS 2 !sin2 !2sin2 !1sin 21 ???? ?,求證 :對(duì)任意的正整數(shù) k,若 k≥n恒有 :|Sn+k－ Sn|1n 解析 : |2 )s in(2 )!2s in(2 )!1s in(||| 21 knnnnkn knnnSS ???? ???????? ? knnnknnn knnn ?????? ??????????? 2 12 12 1|2 )s i n(||2 )!2s i n(||2 )!1s i n(| 2121 ?? nknkn 21)211(21)212121(21 2 ???????? ? 又 nCCC nnnnnn ??????? ?10)11(2 所以 SS nnkn 121|| ???? 六 、 借助數(shù)列遞推關(guān)系 例 : 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè) nnan 2642 )12(531 ???? ?????? ?? 則 nnnnn anaananna ??????? ?? 2)1(2)1(2 12 11 ,從而 nnn naana 2)1(2 1 ??? ?,相加后就可以得到 122 1)22(132 1)1(22)1(2 1121 ???????????????? ? nnnnaanaaa nn? 所以 1222642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 例 28. 求證 : 1122642 )12(531642 53142 3121 ??????? ????????? ?????? nnn??? 解析 : 設(shè) nnan 2642 )12(531 ???? ?????? ?? 則 111 )12(]1)1(2[)1(2 12 ??? ????????? nnnnn aanananna ,從而 nnn anana )12(]1)1(2[ 11 ????? ?? ,相加后就可以得到 1122312 1)12(3)12( 1121 ?????????????? ? nnnaanaaa nn? 例 29. 若 1,1 11 ???? ? naaa nn ,求證 : )11(2111 21 ?????? naaa n? 解析 : nnnnnnn aaaaanaa ????????? ????? 21112 112 所以就有 21221111 21121121 ????????????? ?? naaaaaaaaaaa nnnnn? 七 、 分類討論 例 }{na 的前 n 項(xiàng)和 nS 滿足 .1,)1(2 ???? naS nnn 證明：對(duì)任意的整數(shù) 4?m ，有87111 54 ???? maaa ? 解析 :容易得到 ? ?.)1(232 12 ?? ??? nnna , 由于通項(xiàng)中含有 n)1(? ，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論： 當(dāng) 3?n 且 n 為奇數(shù)時(shí) 1222 2223)12 112 1(2311 2132 12121 ??? ???????? ??? ????? nnn nnnnnn aa )2 12 1(232 2223 1232 12 ??? ?? ?????? nnn nn （減項(xiàng)放縮），于是 ① 當(dāng) 4?m 且 m 為偶數(shù)時(shí) ???? maaa 111 54 ? )11()11(1 1654 mm aaaaa ????? ?? .878321)2 11(412321)2 12121(2321 4243 ????????????? ?? mm? ② 當(dāng) 4?m 且 m 為奇數(shù) 時(shí) ???? maaa 111 54 ? 154 111 ????? mm aaa ? （添項(xiàng)放縮）由 ① 知.871111 154 ????? ?mm aaaa ? 由 ① ② 得證。 八 、 線性規(guī)劃型放縮 例 31. 設(shè)函數(shù) 221() 2xfxx ?? ? .若對(duì)一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?，求 ab? 的最大值。 解析 :由 22221 ( 2 ) ( 1)( ( ) )( (1) 1)2 2 ( 2 )xxf x f x? ? ?? ? ? ?知 1( ( ) )( (1) 1) 02f x f? ? ? 即 1 () 1fx? ? ? 由此 再由 ()fx的單調(diào) 性可以知道 ()fx的最小值為 12? ，最大值為 1 因此對(duì)一切 xR? ， 3 ( ) 3af x b? ? ? ?的充要條件是，1332abab?? ?? ? ????? ? ? ?? 即 a ， b 滿足約束條件331 321 32abababab? ?????????? ? ????? ? ??? ， 由線性規(guī)劃得， ab? 的最大值為 5． 九 、 均值不等式放縮 例 .)1(3221 ??????? nnS n ?求證 .2 )1(2 )1( 2???? nSnn n 解析 : 此數(shù)列的通項(xiàng)為 .,2,1,)1( nkkkak ???? 212 1)1( ??????? kkkkkk? ， )21(11 ?? ?? ???? nknnk kSk ， 即 .2 )1(22 )1(2 )1( 2??????? nnnnSnn n 注： ① 應(yīng)注意把握放縮的 “度 ”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式 2baab ?? ，若放成 1)1( ??? kkk 則得 2 )1(2 )3)(1()1( 21 ??????? ?? nnnkS nkn ，就放過(guò) “度 ”了！ ② 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里 naan aaaaaan nnn nn22111111 ????????? ???? 其中， 3,2?n 等的各式及其變式公式均可供選用。 例 bxaxf 21 1)( ??? ，若 54)1(?f ，且 )(xf 在 [0， 1]上的最小值為 21 ，求證：.212 1)()2()1( 1 ?????? ?nnnfff ? 解析 : )22 11()()1()0(22 1141 1141 4)( ??????????????? nffxxf xxxx ? .212 1)2 1211(41)22 11()22 11( 112 ??????????????? ?? nnn nn ?? 例 34. 已知 ba, 為正 數(shù)，且 111 ??ba ， 試證： 對(duì)每一個(gè) ??Nn ，12 22)( ?????? nnnnn baba . 解析 : 由 111 ??ba 得 baab ?? ，又 42)11)(( ?????? abbababa ，故 4??? baab ，而nnnrrnrnnnnnn bCbaCbaCaCba ??????? ?? ??110)( ， 令 nnn babanf ???? )()( ，則 )(nf = 1111 ???? ???? nnnrrnrnnn abCbaCbaC ?? ，因?yàn)?innin CC ?? ，倒序相加得 )(2 nf = )()()( 111111 baabCbabaCabbaC nnnnrnrrrnrnnnn ??????? ??????? ??， 而 121111 2422 ??????? ??????????? nnnnnnrnrrrnnn babaabbabaabba ??， 則 )(2 nf = ))(22())(( 11 rrnrnrnrrnrnrnnrnn babababaCCC ????? ???????? ?? ??? )22( n 12?n ，所以)(nf ??? )22(n n2，即對(duì)每一個(gè) ??Nn ， 12 22)( ?????? nnnnn baba . 例 ),1(2 2 1321 NnnnCCCC nnnnnn ???????? ?? 解析 : 不等式左????? nnnnn CCCC ?321 12 222112 ??????? nn ?n nn 12 2221 ??????? ?= 212?? nn ， 原結(jié)論成立 . 例 xx eexf ???)( ,求證 : 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 解析 : 11)1()1()()( 2121122121221121 ???????????? ?? xxxxxxxxxxxxxx eeeeeeeeeeeexfxf 經(jīng)過(guò)倒序相乘 ,就可 以得到 21 )1()()3()2()1( nnenffff ?????? ?? 例 xxxf 1)( ?? ,求證 : nn nnffff )1(2)2()3()2()1( ?????? ? 解析 : 2)12(2)12( 11212)12()12 112)(1( ?????????????????????? knknkk knkn kknkknknkk 其中 : nk 2,3,2,1 ?? ,因?yàn)?nknkknknkknk 2)12(0)2)(1(2)1(2 ???????????? 所以 22)12 112)(1( ???????? nknknkk 從而 nnnffff 22 )22()]2()3()2()1([ ?????? ?,所以 nn nnffff )1(2)()3()2()1( ?????? ?. 例 7?k ,求證 : 231121111 ????????? nknnnS n ?. 解析 : )111()3121()2111()111(2 nnknknnknnknS n ??????????????? ? 因?yàn)楫?dāng) 0,0 ?? yx 時(shí) , xyyxxyyx 211,2 ???? ,所以 4)11)(( ??? yxyx ,所以 yxyx ??? 411 ,當(dāng)且僅當(dāng) yx? 時(shí)取到等號(hào) . 所以 1)1(41432 421 4142 ?? ????????????????? nkn knnknnknnknnknS n ? 所以 231421 )1(211 )1(2 ????????? ?? kkknkkS n所以 231121111 ????????? nknnnS n ? 例 ))(()( 21 xxxxaxf ??? ,求證 : 16)1()0( 2aff ?? . 解析 : 16)]1()][1([)1()0( 222112 axxxxaff ????? . 例 f(x)=x2－ (－ 1)k2lnx(k∈ N*).k 是奇數(shù) , n∈ N*時(shí) , 求證 : [f’(x)]n－ 2n－ 1f’(xn)≥2n(2n－ 2). 解析 : 由已