【文章內(nèi)容簡介】 　　　　　　　　　　　　　　7分又．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分∴．　　　　　　　　　　　　13分當(dāng)數(shù)列首項，公差時，∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　14分（文）解：設(shè)公差為，則．　　　3分，　　　　　　　　　　　6分又．∴．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　11分∴．　　　　　　　　　　　　　13分當(dāng)數(shù)列首項，公差時，．∴的最大值為．　　　　　　　　　　　　　　　　　14分6．（本小題滿分12分）垂直于x軸的直線交雙曲線于M、N不同兩點，AA2分別為雙曲線的左頂點和右頂點，設(shè)直線A1M與A2N交于點P（x0，y0）（Ⅰ）證明：（Ⅱ）過P作斜率為的直線l，原點到直線l的距離為d，求d的最小值.解（Ⅰ）證明：　　　?、僦本€A2N的方程為 ②……4分①②，得（Ⅱ）……10分當(dāng)……12分7．（本小題滿分14分） 已知函數(shù) （Ⅰ）若 （Ⅱ）若 （Ⅲ）若的大小關(guān)系（不必寫出比較過程）.解：（Ⅰ） （Ⅱ）設(shè)，……6分（Ⅲ）在題設(shè)條件下，當(dāng)k為偶數(shù)時當(dāng)k為奇數(shù)時……14分2009年高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解四1．（本小題滿分14分） 已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù).（Ⅰ）求實數(shù)a的值組成的集合A；（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x：是否存在實數(shù)m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，.解：（Ⅰ）f＇(x)== ，∵f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立. ①設(shè)(x)=x2－ax－2，方法一： (1)=1－a－2≤0，① －1≤a≤1， (－1)=1+a－2≤0.∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時，f＇(1)=0以及當(dāng)a=－1時，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}. 方法二： ≥0， 0，① 或 (－1)=1+a－2≤0 (1)=1－a－2≤0 0≤a≤1 或 －1≤a≤0 －1≤a≤1.∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時，f＇(－1)=0以及當(dāng)a=1時，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}.（Ⅱ）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+80∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的兩非零實根， x1+x2=a，∴ 從而|x1－x2|==.x1x2=－2，∵－1≤a≤1，∴|x1x2|=≤3.要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m2+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立. ②設(shè)g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一： g(－1)=m2－m－2≥0，② g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.方法二：當(dāng)m=0時，②顯然不成立；當(dāng)m≠0時， m0， m0，② 或 g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0 m≥2或m≤－2.所以，存在實數(shù)m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|對任意a∈A及t∈[1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.2．（本小題滿分12分）如圖，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，.解：（Ⅰ）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x1≠0，y10，y20.由y=x2， ①得y＇=x.∴過點P的切線的斜率k切= x1，∴直線l的斜率kl=－=，∴直線l的方程為y－x12=－ (x－x1)，方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2+x－x12－2=0.∵M(jìn)是PQ的中點 x0==，∴ y0=x12－(x0－x1).消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，則x0==kl=，∴x1=－，將上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).分別過P、Q作PP＇⊥x軸，＇⊥y軸，垂足分別為P＇、Q＇，則. y=x2由 消去x，得y2－2(k2+b)y+b2=0. ③ y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，則 y1y2=b2.方法一：∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.∵yy2可取一切不相等的正數(shù)，∴的取值范圍是（2，+）.方法二：∴=|b|=|b|.當(dāng)b0時，=b==+22；當(dāng)b0時，=－b=.又由方程③有兩個相異實根，得△=4(k2+b)24b2=4k2(k2+2b)0，于是k2+2b0，即k2－2b.所以=2.∵當(dāng)b0時，可取一切正數(shù)，∴的取值范圍是（2，+）.方法三：由P、Q、T三點共線得kTQ=KTP，即=.則x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).于是b==－x1x2.22∴==+=+≥2.∵可取一切不等于1的正數(shù)，∴的取值范圍是（2，+）.3．（本小題滿分12分） 某突發(fā)事件，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失. 現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采用. 單獨采用甲、乙預(yù)防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，. 若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨采用、聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費用最少. （總費用=采取預(yù)防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值.）本小題考查概率的基本知識和數(shù)學(xué)期望概念及應(yīng)用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分.解：①不采取預(yù)防措施時，總費用即損失期望為400=120（萬元）； ②若單獨采取措施甲，則預(yù)防措施費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－=，損失期望值為400=40（萬元），所以總費用為45+40=85（萬元）③若單獨采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－=，損失期望值為400=60（萬元），所以總費用為30+60=90（萬元）；④若聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，則預(yù)防措施費用為45+30=75（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為（1－）（1－）=，損失期望值為400=6（萬元），所以總費用為75+6=81（萬元）.綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應(yīng)選擇聯(lián)合采取甲、乙兩種預(yù)防措施，可使總費用最少.4．（本小題滿分14分） 已知（I）已知數(shù)列極限存在且大于零，求（將A用a表示）；（II）設(shè)（III）若都成立，求a的取值范圍.本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限的概念和數(shù)學(xué)歸納法，考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，滿分14分. 解：（I）由 （II） （III） （i）當(dāng)n=1時結(jié)論成立（已驗證）. （ii）假設(shè)當(dāng) 故只須證明 即n=k+1時結(jié)論成立. 根據(jù)（i）和（ii）可知結(jié)論對一切正整數(shù)都成立. 故5．（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分10分）已知，函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時，求使成立的的集合；(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論