【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 )(kPn例 5 獨(dú)立射擊 5000次，每次的命中率為 , 求命中次數(shù)不少于 2 次的概率 . 令 X 表示命中次數(shù)，則 X ~ B( 5000, ) )1()0(1)2(1)2( ????????? XPXPXPXP9 5 7 )9 9 ()0 0 (11050005000??? ???kkkkC解 本例啟示 小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次 數(shù)多了，就成大概率事件 . 問(wèn)題 如何計(jì)算 ？ )2500( ?XPPossion定理 則對(duì)固定的 k ?,2,1,0!)1(lim??? ????kkeppCkknnknknn??0l i m ???? ?nn np設(shè) Poisson定理說(shuō)明：若 X ~ B( n, p), 則當(dāng) n 較大， p 較小，而 適中，則可以用近似公式 ??np?,2,1,0!)1(??? ??kkeppCkknkkn??解 令 X 表示命中次數(shù)，則 X ~ B( 5000, ) 5?? np?令 9 5 9 15111)2( 5 ??????? ???? ?eXP此結(jié)果也可直接查 附表 2 Poisson 分布表 得到，它與用 二項(xiàng)分布算得的結(jié)果 僅 相差千分之二點(diǎn)四 . 利用 Poisson定理再求 例 5 在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng) n ? 20, p ?，可用上 述公式近似計(jì)算；而當(dāng) n ? 100, np ?10時(shí) , 精度 更好 0 1 2 3 4 按二項(xiàng)分布 按 Possion 公式 k n=10 p= n=20 p= n=40 p= n=100 p= ?=np=1 在 Poisson 定理中， 0! ?? kek??1!3!21!!3200???????????????????????????????????eeekekekkkk?由此產(chǎn)生了一種離散型隨機(jī)變量的概率分布 — Poisson 分布 (3) Poisson 分布 )(?? 或 )(?P或 若 ?,2,1,0,!)( ??? ? kkekXP k??其中 0?? 是常數(shù)，則稱 X 服從 參數(shù)為 ?的 Poisson 分布 ，記作 )(?? )(?P在一定時(shí)間間隔內(nèi)： 一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)； 大賣場(chǎng)的顧客數(shù)； 應(yīng)用場(chǎng)合 電話總機(jī)接到的電話次數(shù)； 一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)； 放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)； 一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)； 某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù) 都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流 , 若它們滿足一定的條件，則稱為 Poisson流 , 在 長(zhǎng)為 t 的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù) Xt ~ P ( ?t ) 市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)； 等等 例 8 設(shè)一只昆蟲(chóng)所生蟲(chóng)卵數(shù)為隨機(jī)變量 X ~ P(?), 每個(gè)蟲(chóng)卵發(fā)育成幼蟲(chóng)的概率為 p. 設(shè)各個(gè)蟲(chóng)卵 是否能發(fā)育成幼蟲(chóng)是相互獨(dú)立的 . 求一只昆蟲(chóng) 所生的蟲(chóng)卵發(fā)育成的幼蟲(chóng)數(shù) Y 的概率分布 . 解 昆蟲(chóng) X 個(gè)蟲(chóng)卵 Y 個(gè)幼蟲(chóng) 已知 ?,2,1,0,!)( ??? ? kkekXP k??kmppCkXmYP mkmmk,2,1,0,)1()(?????? ??? ,2,1,0,)()( ??????mkXmYmklklXkX ?????? ,)()(由全概率公式 )()()( kXmYPkXPmYPmk????? ???mkmmkmkkppCke ???? ?? ? )1(!??mkmkmkmpmkmpe ????? ??? ? )1()!(!)( ???sssmsmkpsmpe )1(!!)(0?? ?????? ???令)1(!)( pm empe ??? ?? ?!)(mpe mp ?????,2,1,0?m)(~ pPY ?故 例 9 ),50(~ BX!3 )()()(}3{473350 ?????eCXP從一家工廠生產(chǎn)的一大批某種產(chǎn)品中 ,不放回地抽取 50次 ,每次取一件 .經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)其中 3件次品 .問(wèn)是否可相信該批產(chǎn)品的次品率不超過(guò) 12‰ . 解 : 抽取 50件產(chǎn)品可近似看作 50重貝努力試驗(yàn) . 假定該批產(chǎn)品的次品率不超過(guò) 12‰ ,則 抽取 50件產(chǎn)品的次品數(shù) 則 50件產(chǎn)品中恰有 3件次品的概率 若次品率小于 12‰ ,則 }3{ ?XP 會(huì)更小 . 由實(shí)際推斷原理 ,懷疑假設(shè)的正確性 ,從而認(rèn)為次品率不超過(guò) 12‰ 不可信 . ),(~ ?nBX“ 小概率事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上不可能發(fā)生 ” 實(shí)際推斷原理 例 10 設(shè)一次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率 ,)( ??AP把試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)做 n次 , 求事件 A至少發(fā)生一次的概率 . 解 : 記 X為 n次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù) , 令 ?B 事件 A至少發(fā)生一次 , }0{1)(1)( ????? XPBPBPnnnC )1(1)1(100 ??? ????????n 1)1(1 ??? n?時(shí) , 這說(shuō)明 ,當(dāng) n充分大時(shí) ,事件 A遲早要發(fā)生 .從而得出一個(gè)重要結(jié)論 :―小概率事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中是遲早要發(fā)生的 ” .因此 ,在試驗(yàn)次數(shù)很大的情況下 ,小概率事件是不容忽視的 .這個(gè)結(jié)論在實(shí)際中很有用 . “ 惡有惡報(bào) ,善有善報(bào) ,不是不報(bào)時(shí)侯沒(méi)到 ,時(shí)侯一到一定要報(bào) ” , ―常走河邊必濕鞋 ” “ 多行不義必自斃 ” 等等 , 警示 : (4) 超幾何分布 設(shè)一批產(chǎn)品中有 M件正品 ,N件次品 ,從中任意取 n件 , 則取到的次品數(shù) X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量 ,它的概率分布為 nNMknMkNCCCkXP???? }{。,2,1,0 lk ???? ).,m i n ( Nnl ?超幾何分布 應(yīng)用 : 產(chǎn)品的質(zhì)量檢查與控制等 167。 連續(xù)型隨機(jī)變量 定義 設(shè) X 是一隨機(jī)變量，若存在一個(gè)非負(fù)