數(shù)學(xué)中的美及其運(yùn)用(編輯修改稿)
2024-09-01 08:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 道的任何地方，！那么這是為什么呢?，F(xiàn)在就讓我們就一起走進(jìn)這個問題。設(shè)地球半徑為r，那么奶茶盒的長則為2πr。當(dāng)奶茶盒長為2πr+4時，繩子所圍圓周的半徑則為： R=r+42π.h=42π=那么奶茶可以圍成一個與地球相距（即繩子圍成的圓圈半徑與地球半徑只差）。這個事實無法想象，無論如何是想不通的，但事實就是這樣，地球半徑那么大，而奶茶盒僅僅接長4米。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)計算告訴我們這是正確的，可誰又能親手去試驗一下呢？這便是數(shù)學(xué)抽象的美。在數(shù)學(xué)中所處理的問題，有些是脫離了具體事物內(nèi)容的。比如“N”表示自然數(shù)，他可以是N個人，N個房子或N個球……如果單說N他不能具體的表示任何東西，分不到底是1還是10。傻傻分不清楚，這就是數(shù)學(xué)的抽象之美， 數(shù)學(xué)的奇異美 沒有一個極美的東西不是在勻稱中有著某種奇異 ——培根著名數(shù)學(xué)家徐利治教授說：“奇異是一種美，奇異到極致更是一種美”。奇異常常與數(shù)學(xué)的反例在一起，比如為了探究函數(shù)的定義與連續(xù)的關(guān)系，出現(xiàn)了著名的狄利克雷函數(shù)：Hx=1，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)這個函數(shù)在實軸上處處有定義，但在實軸上卻處處不連續(xù)。在微積分的最早研究中，主要是研究連續(xù)函數(shù)，數(shù)學(xué)家們通過反例y=x,x∈R在R上連續(xù)，但在x=0處不可導(dǎo)，數(shù)學(xué)家們得出了連續(xù)卻未必可導(dǎo)的結(jié)論。后來一些數(shù)學(xué)家們認(rèn)為連續(xù)函數(shù)至少在某些點處可以微分，但威爾斯特拉斯卻在1860年找到了一個處處連續(xù)又處處不可微的函數(shù)，這個奇異的反例的發(fā)現(xiàn)，大大的推動了數(shù)學(xué)分析的發(fā)展，后來就出現(xiàn)了黎曼函數(shù)：tx=1\q，x=p\q(q0,q,p為互質(zhì)的整數(shù))0,x為無理數(shù)這便是一個帶有奇異的新發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。奇異性通常伴隨著數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)。例如：cos4αcos2β+sin4αsin2β=1，證, cos4βcos2α+sin4βsin4α=1 這個問題看似很復(fù)雜，如果我們改變思維用代數(shù)變換，那么他的證明就很簡單，證明：設(shè)sin2?α=x，sin2β=y，x，y∈（0，1）,則原式變化為x2y+(1y)21y=1 (1)則 x2(1y)+y(1x)2=y(1y)所以 （xy）2=0x=y由此可以得到 cos4βcos2α+sin4βsin4α=1通過上述例子我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中有存在很多的奇異，他們通常以奇異的方式出現(xiàn)，給人一種空洞的感覺，但他卻極大的鼓勵了人們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和研究其中的謎題。數(shù)學(xué)的奇異中有著豐富的奧妙和魅力，奇異中也蘊(yùn)含著道理與規(guī)律，她好似一個閉月羞花的少女。讓人為之贊美，為之陶醉。 數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的美統(tǒng)一性的美是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的重要標(biāo)志，歐幾里德在他的著作中《幾何原本》把空間的性質(zhì)統(tǒng)一為點，線，面，體幾個抽象概念和五條公設(shè)。恩格斯也曾說過，數(shù)學(xué)中一些看來不同的概念，定理，法則，在一一個特定的情況下都可以處在一個統(tǒng)一體中。比如圓的冪定理中就包含了切線長定理，割線定理，切割線定理，相交玄定理。統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)的一個重要方向。統(tǒng)一性也是數(shù)學(xué)最根本的美學(xué)。說道數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性的美我們據(jù)不得不說克萊因，克萊因倔強(qiáng)的探索著幾何學(xué)理論的統(tǒng)一。他首先指出：“幾何學(xué)盡管本質(zhì)上是一個整體，可是，由于最近期間所取得的飛速發(fā)展，卻被分割成為許多幾乎互不相干的分科，其中每一分科幾乎都是獨(dú)立地、繼續(xù)地發(fā)展著。于是，公開發(fā)表旨在建立幾何學(xué)的這樣一種內(nèi)在聯(lián)系的各種考慮，就顯得更加必要了?？巳R因?qū)?shù)學(xué)統(tǒng)一性的研究，使數(shù)學(xué)朝著更好更快的方向始終前進(jìn)著?？巳R因的幾何學(xué)群論思想，以簡單明了的方式把相當(dāng)多的幾何學(xué)統(tǒng)一了起來。他給已有的多種幾何學(xué)提供了一個系統(tǒng)的分類方法，并提示了許多可供研究的問題。它引導(dǎo)以后的幾何學(xué)家的研究工作達(dá)50年之久，對幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。其實，數(shù)學(xué)中統(tǒng)一性地發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程，由最初的希爾伯特的公理化運(yùn)動到伯克霍夫用“格”來統(tǒng)一代數(shù)系統(tǒng)經(jīng)歷了30年左右。后來，公理化運(yùn)動被布爾巴基學(xué)所承認(rèn)，他認(rèn)為數(shù)學(xué)可以統(tǒng)一為一個整體。這些都為數(shù)學(xué)的統(tǒng)一做出了巨大的貢獻(xiàn)?，F(xiàn)在我們在學(xué)習(xí)的過程中感受到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，在很大程度上都是前人為我們做出的巨大貢獻(xiàn)所達(dá)成的，我們在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)該保持一顆的心。盡情，無所保留的來認(rèn)知數(shù)學(xué)統(tǒng)一美所帶給我們的和諧。其實，數(shù)學(xué)中統(tǒng)一性有很多的表現(xiàn)，我們通常需所學(xué)的知識都會有一個大的框架來約束。我們學(xué)過的函數(shù)，求導(dǎo)，切線的計算等，其實都是微積分的表現(xiàn)。當(dāng)然我們知道牛頓萊布尼茲公式abfxdx=FbF（a）。就是這個公式，它強(qiáng)大的將微分，不定積分和定積分統(tǒng)一在這個公式中，我想這是數(shù)學(xué)的強(qiáng)大之處吧。2. 6 數(shù)學(xué)中的無窮美無窮大的問題是一個讓人著迷的有趣問題，人類因為了解了無窮，我們的思想才會飛向遙遠(yuǎn)的宇宙。探索那神秘的黑洞。徜徉在銀河那無窮的邊界。記我在一本書上偶然間看到過這樣一個問題：如何來定義一個無窮的邊界。起初我還在想，無論什么東西他總有一個盡頭，總有一個邊界吧，那時天真無邪的我一直是這樣認(rèn)為的。但是隨著年齡的增長，隨著知識越來越多的累計，我發(fā)現(xiàn)我的這種觀點好像是錯誤的。因為給無窮來定一個邊界好像本身就是一個天真的問題，因為你如果給無窮定了一個邊界，那么邊界外面的會是什么呢？邊界外面好像也是無窮的存在吧。就像你以房子的一扇門來區(qū)分房子的里面和外面。那么這個所謂的房子外面也可能是另一個參照物的里面，這里面好像也涉及到了哲學(xué)的問題。其實到現(xiàn)在我都還不是很懂這樣的一問題。我想這也是數(shù)學(xué)的無窮襯托出來數(shù)學(xué)的奇異美吧。亞里士多德曾經(jīng)說過，無窮就像宇宙沒有盡頭，你永遠(yuǎn)無法走到他的邊界。數(shù)學(xué)中的無窮造就了很多的相悖論。那么希爾伯特旅館悖論將為我們
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