【文章內容簡介】 ）雙方各出7人．3種方案中得勝人數多的一方為勝利．問：對甲隊來說，哪種方案有利？ 解 設以上三種方案中第i種方案甲隊得勝人數為則上述3種方案中，甲隊勝利的概率為 （1）（2）（3）因此第一種方案對甲隊最為有利．這和我們的直覺是一致的。 14．有某商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數可以用參數=5的泊松分布來描述．為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件？ 解 設該商店每月銷售這種商品數為X，月底進貨為a件，則為了時不脫銷，故有 由于上式即為查表可知 于是，這家商店只要在月底進貨這種商品9件（假定上個月沒有存貨），就可以95%以上的把握保證這種商品在下個月不會脫銷。15．一本300頁的書中共有240個印刷錯誤．若每個印刷錯誤等可能地出現在任意1頁中，求此書首頁有印刷錯誤的概率．解 根據題意，可將問題看作是一個240重伯努利試驗，每一個錯誤以概率出現在指定的一頁上，以概率不出現在這一頁上．以表示出現在首頁上的錯誤數，則，而所求概率為16．設某高速公路上每天發(fā)生交通事故的次數服從參數為 = 2的泊松分布．已知今天上午該公路上發(fā)生了一起交通事故，求今天該公路上至少發(fā)生三起交通事故的概率．解 設每天發(fā)生交通事故的次數為，由題知服從參數為的泊松分布，即已知今天上午該公路上發(fā)生了一起交通事故，則今天至少發(fā)生一次交通事故，其概率為該公路上每天至少發(fā)生三起交通事故的概率為 所以所求概率為17．某傳呼臺有客戶3000．已知每個客戶在任意時刻打傳呼的概率為千分之二，？解 設在任意時刻打傳呼的客戶數為，由題意可知，．又設安排名傳呼員，則由題意有?。刹此啥ɡ恚品牡牟此煞植?，即 查的泊松分布表，可得．18．某公司采購人員在購買一種電腦用芯片時被告知： ，該采購員應購買多少只芯片？解 設該采購員應購買只芯片，則其中的不合格芯片數為，由題意可知，且由泊松定理近似服從參數為的泊松分布，其中（這里n顯然不會太大）. 于是有查表得，所以該采購員應購買84只芯片1．已知函數其 , 問是否為密度函數，為什么？解 顯然又 所以是密度函數.2． 設隨機變量 試確定常數的值，如果 =,求的值．解 解方程 得 解關于b的方程： 得 3．某種電子元件的壽命是隨機變量，概率密度為 3個這種元件串聯在一個線路中．計算這3個元件使用了150小時后仍能使線路正常工作的概率解 由已條件知，串聯線路正常工作當且僅當3個元件都能正常工作。而三個元件的壽命是三個相互獨立同分布的隨機變量，因此若用事件A表示“線路正常工作”，則故4．設隨機變量的密度為試求（1） 常數；（2）的分布函數．解 (1) 由密度函數的性質，有　　　　　 　(2)　由，有　　　　　　　　 　于是，X的分布函數為.5．已知連續(xù)隨機變量的密度為（1） 求的分布函數；（2） 計算 , ．解 (1)由分布函數的定義，有 　　　　　　 　 　　 6．設連續(xù)型隨機變量的分布函數為試確定、并求 ． 解　因X為連續(xù)型隨機變量，故其分布函數在上連續(xù)，從而解得 　于是　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 1．設隨機變量在[2，5]上服從均勻分布．現對進行3次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率．解 因為隨機變量X服從均勻分布，故其密度函數為 易得 設A表示“對進行3次獨立觀測，至少有兩次的觀測值大于3的”事件，則2．設隨機變量服從 [0 ，5] 上的均勻分布，求關于x的二次方程 = 0有實數根的概率．解 的二次方程有實根的充要條件是它的判別式　　　　 即　　 　解得　　或由假設，在區(qū)間上服從均勻分布，其概率密度為　　　　 故所求概率為　　　 3．設 ，求：（1） 的分布函數；（2） ；（3） 常數 ，使= ．解 由題知，即的概率密度為 （1）由定義 當時，　 當時， 所以，的分布函數為 (2) (3) 由題知　，則　4．某種電腦顯示器的使用壽命（單位：千小時）服從參數為 的指數分布．生產廠家承諾：購買者使用1年內顯示器損壞將免費予以更換．（1） 假設用戶一般每年使用電腦2000小時，求廠家須免費為其更換顯示器的概率；（2） 顯示器至少可以使用10000小時的概率為何？（3） 已知某臺顯示器已經使用10000小時，求其至少還能再用10000小時的概率．解　因為服從參數為的指數分布，所以的密度函數為 (1) (2) (3) 5．設 ，求：（1） ， ， ；（2） 常數 ，使= ．解　(1) 因為故有　　　　　　 　　　　　　　 　 (2)由 得　　　　　　　　　　　　　　即　　　　 于是　　　　　　 6．某種電池的使用壽命（單位：小時）是一個隨機變量， ．（1） 求其壽命在250小時以上的概率；（2） 求一允許限x ，使落入區(qū)間（300 － x ，300 ＋ x） ．解　(1) 由，可得　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　 (2) 由題意，知　　 即　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　 查表得　則　，即．7．某高校一年級學生的數學成績X近似地服從正態(tài)分布 ，其中90分以上的占學生總數的4 ％ ．求：（1） 數學不及格的學生的百分比；（2） 數學成績在65 ～ 80分之間的學生的百分比．解 先求方差. 因為90分以上的占學生總數的4%, 所以有　　　　　 即　　 　　 　從而　　　　　 查表可知，則．于是.(1) 數學不及格的學生的百分比為(2) 數學成績在分之間的學生的百分比為1．設的分布列為－2－101求及的概率分布．解 將函數值相同的概率相加，得隨機變量的概率分布為　　　　　　　 　隨機變量的概率分布為　　　　　　　 　2．設 ，求 的概率密度．解　因為，所以的密度函數為由于函數單增且其反函數故Y = 的概率密度函數為3．設 = ，求的密度．解 函數單增且其反函數，故Y = ln X的密度函數為．4．設服從 的指數分布，證明 在區(qū)間 [0 ，1] 上服從均勻分布．證 由定義知，的分布函數為　　 當時，　　當時，　　當時，　　　　　　 由服從的指數分布，故因而所以隨機變量的分布函數為　　　　　　　　　　 即證得在區(qū)間上服從均勻分布．5．隨機變量服從[0, ]上的均勻分布，, 求的概率密度.解 由于在上單調，于是在上，　　　　　 　．又隨機變量服從[0, ]上的均勻分布，因此綜合練習二一、 填空題， 則（ 6 ）. 2. , 連取三次, 每次一件(有放回), 則取到的次品次數服從的概率分布為（ ）.3. 設隨機變量X～B(2, p), Y～B(3, p), 若P(X 179。 1) =, 則P(Y 179。 1) = ( ). ，且，則（ ）.，則（ 100 ）.，則（ ）. ， 則的分布函數為（ ）.，則（ ）.，則的密度函數為（ ）.，則（ ）二 、選擇題1．下列函數為某隨機變量密度函數的是( ) ．(a) (b) (c) (d ) 2．設隨機變量的密度函數為且，是的分布函數，則對任意實數，有（ ）．3．設與分別為隨機變量與的分布函數，為使是某一隨機變量的分布函數，在下列給定的各組數值中應取（ （a） ） (a) (b) (c) (d) ．4．設是連續(xù)型隨機變量的分布函數，則（ (d) ）．5． 設隨機變量X的概率密度函數為，則的分布函數為（ (c) ）．6．設一個零件的使用壽命X的密度函數為，則三個這樣的零件中恰好有一個的使用壽命超過1000的概率為（ (b) ） ．.7．設隨機變量，其概率密度函數為，分布函數是，則正確的結論是（ (b) ）8．下列函數中不是正態(tài)密度函數的為（ (b) ）．9．設隨機變量的密度函數為, 則的密度函數為（ (c) ）．(a) (b) (c) (d) 10．若隨機變量服從均勻分布，則的密度函數為（ (d) ）． 三、解答題1．如果, n=1,2.188。,問它是否能成為一個離散型概率分布，為什么？解 因為由于級數收斂，若記，只要取則有且所以它可以成為離散型隨機變量的分布。2．一條公共汽車路線的兩個站之間，有四個路口處設有信號燈，假定汽車經過每個路口時遇到綠燈可順利通過，遇到紅燈或黃燈則停止前進，求汽車開出站后，在第一次停車之前已通過的路口信號燈數目X的概率分布（不計其他因素停車）．解 X可以取0，1，2，3，4. , 3．一盒中有6個球，在這6個球上標注的數字分別為3，3,1,1,1,2，現從盒中任取一球，試取得的球上標注的數字的分布律及分布函數．解 的全部可能取值為3,1,3 1 2 故的分布函數為4．據調查有同齡段的學生，他們完成一道作業(yè)的時間是一個隨機變量，單位為小時．它的密度函數為（1）確定常數；（2）寫出的分布函數；（3）試求出在20分鐘內完成一道作業(yè)的概率；（4）試求10分鐘以上完成一道作業(yè)的概率．解 (1) 由密度函數的性質，有　　　　　 　由，有　　　　　　　　 ?。?）X的分布函數為（3） P{ 20分鐘內完成一道作業(yè)的}= (4) P{10分鐘以上完成一道作業(yè)}=5. 某工廠為了保證設備正常工作，需要配備一些維修工．如果各臺設備發(fā)生故障是相互獨立的，試在以下各種情況下，求設備發(fā)生故障而不能及時修理的概率．（1）一名維修工負責20臺設備．（2）3名維修工負責90臺設備．（3）10名維修工負責500臺設備． 解 (1) 由題意,用X表示20臺設備中同時發(fā)生故障的臺數，則用參數的泊松分布作近似計算，得所求概率為 (2) 用Y表示90臺設備中同時發(fā)生故障的臺數，則用參數的泊松分布作近似計算，得所求概率為由這一結論說明，在這種情況下不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名維修工負責90臺設備相當于每個維修工負責30臺設備，工作效率顯然高于（1）中，是（1）。（3）用Z表示500臺設備中同時發(fā)生故障的臺數，則用參數的泊松分布作近似計算，得所求概率為　　　 　　由這一結論說明，在這種情況下所求概率比與（2）中基本一致，而且10名維修工負責500臺設備相當于每個維修工負責50臺設備，工作效率顯然高于（2）中，是（2），是（1）。6．某汽車站為職工上班方便每日特地安排了兩趟定員均為30人的早班車，分別于7：20和7：30準時開車．已知汽車站周邊每日有50名職工要趕這兩班車上班，每名職工都獨自趕往車站，且每人到達車站的時刻均勻分布于7：15 ～ 7：30之間．試求：（1） 任何1名職工在7：15 ～ 7：20之間到達車站的概率；（2） 有職工在7：15 ～ 7：20之間到達車站但卻須乘第二班車上班的概率 （只給出表達式，不必計算） ．解　(1) 因為每人到達車站的時刻均勻分布于7:157:30之間，所以任意一名職工在7:157:20之間到達車站的概率為　 (2) 設在7:157:20之間到達車站的乘客人數為，根據題意，而所求概率為　　　　　　　　　　7． 隨機變量隨機變量，若，計算的值，求 解 因，所以，查表得 解之得 查表得 8．某單位招聘員工，共有10000人報考。假設考試成績服從正態(tài)分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人。現按考試成績從高分到低分依次錄用2500人，試問被錄用者中最低分為多少？解 用隨機變量X表示考試成績，則則有 ，整理后得解方程組得 設錄用者中最低分數為a，則有，即，查表得a=可見。9．設隨機變量 ，求的密度函數．解 因為， 所以的分布函數從而的密度函數為 10．設,