拉普拉斯變換1-4節(jié)(編輯修改稿)
2024-09-01 07:35 本頁面
【文章內容簡介】 33 apapapapap eepceeepc ????? ??????? 性質 4（微分性質） 若 ，并設 在 [0， +∞]上連續(xù)， 為分段連續(xù)，則 )()]([ pFtfL ?)(tf)(tf?)0()()]([ fppFtfL ??? (75) 證明 由拉氏變換定義及分部積分法，得 dtetftfL pt? ?? ???? 0 )()]([ ? ?? ???? ?? 00 )(])([ dtetfPetf ptpt)0()()]([)0(0)]([ fppFtfpLftfL ?????? 微分性質表明：一個函數(shù)求導后取拉氏變換等于這個函數(shù)的拉氏變換乘以參數(shù) p ，再減去函數(shù)的初始值． 可以證明，在 存在的條件下，必有 ．因此 0)(lim ?????ptt etf)]([ tfL第七章 拉普拉斯變換 應用上述結果，對二階導數(shù)可以推得 )}0()0({)()0()}0()({)0()]([)]([ 2 fpfpFpffppFpftfpLtfL ??????????????同理，可得 )}0()0()0({)()]([ 23 ffpfppFptfL ??????????以此類推，可得 )}0()0()0({)()]([ )1(21)( ??? ????? nnnnn ffpfppFptfL ?（ 76） 由此可見， f(t) 各階導數(shù)的拉氏變換可以由 p 的乘方與象函數(shù) F(p)的代數(shù)式表示出來．特別是當初值 時，有更簡單的結果 0)0()0(39。39。)0(39。)0()1( ???? ?nffff),2,1()()]([ )( ??? npFptfL nn ，（ 77） 利用這個性質，可將 f(t) 的微分方程轉化為 F(p) 的代數(shù)方程． 第七章 拉普拉斯變換 例 711 利用微分性質求 和 ][sin tL ? ][co s tL ?解 令 ttf ?s in)( ? 則 ttfff ??? s in)()0(0)0( 2??????? ， ，由 76式，得 )]([]s in[ 2 tfLtL ???? ?? )0()0()]([2 fpftfLp ????即 ???? ??? ][ s i n][ s i n 22 tLptL移項化簡得 22][ s in ????? ptL利用上述結果， 及（ 75）式，可得 )( s in1co s ?? tt ???])( s in1[][ co s ?? tLtL ??? }0s in][ s i n{1])[ ( s in1 ???? tpLtL ????2222 }0{1???? ?????? pppp第七章 拉普拉斯變換 性質 5（積分性質） 若 ，且 設連續(xù)，則 )()]([ pFtfL ? )0( ?p )(tf? ?t p pFdxxfL 0 )(])([ （ 78） 證明 令 ，顯見 ，且因 ，由微分性質，得 ??t dxxft0 )()(? ??t dxxft0 )()(?)()( tft ???)0()]([)]([ ??? ??? tpLtL 而 ，所以有 )()]([)]([ pFtfLtL ????])([)]([)( 0??? t dxxfpLtpLpF ? 即 )(1])([0 pFpdxxfLt ?? 積分性質表明：一個函數(shù)積分后再取拉氏變換，等于這個函數(shù)的象函數(shù)除以參數(shù) p ． 例 712 求 （ n是正整數(shù)）． ][ ntL 解 因為， ， … ， 所以由（ 78）式即得 ??? ??? ttt dxxtx d xtdxt 0 23020 321 ， ? ?? t nn dxnxt 0 1第七章 拉普拉斯變換 ,!3][3]3[][,!2][2]2[][,!1]1[]1[][42023302210pptLdxxLtLpptLx d xLtLpppLdxLtLttpt????????????? …………………… 一般地，有 1101 !][][][??? ??? ?nnt nnpnptnLdtxnLtL性質 6 若 L［ f（ t）］ =F（ p），則 a0 時 )(1)]([ apFaatfL ? （ 79） 性質７ 若 L［ f（ t）］ =F（ p），則 )()1()]([ )( pFtftL nnn ?? （ 710） 性質８ 若 L［ f（ t）］ =F（ p），且 存在則 ttft)(lim0?? ??? p dppFt tfL )(])([ （ 711） 第七章 拉普拉斯變換 例 713 求 ． ]sin[ ttL ?解 因為 ，由（ 710）式可得 22][ s in ????? ptL222
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