數(shù)值分析5-2(高斯消去法)(編輯修改稿)
2024-09-01 06:52 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )( ,bLLbALLAnnnn??將上三角矩陣 A(n) 記為 U，則有 LUULLLAA n ??? ? ??? 1 11211)1( ?其中 ??????????????????????11111,213231211111nnnnnmmmmmmLLL????Gauss消去法將 A分解為兩個三角矩陣相乘 定理 : (矩陣的 LU分解 ) 設(shè) A 為 n 階矩陣，如果 A 的順序主子式 ( i = 1,2,… ,n1)， 則 A 可分解為一個單位下 三角矩陣 L 和一個上三角矩陣 U 的乘積 ， 且 這種分解是唯一的 。 0?iD注： 若 A 實現(xiàn)了 LU分解，則 Ax = b (LU)x=b Ly = b Ux = y 求解兩個三角形方程組 ! 舉例： 用系數(shù)矩陣的 LU分解求下列方程組 ?????????????12254632132321xxxxxxxx解： 系數(shù)矩陣為 ?????????????122140111A 由高斯消去法， m21=0， m31=2 m32=－ 1，故 ?????????????122140111ALU???????????????????????????200140111112010001則求解原方程組可轉(zhuǎn)化為如下兩個三角形方 程組： ????????????????????????????????? 321321112010001bbbyyy??????????????????????????????????321321200140111yyyxxx三、高斯消去法的計算量 定理： 如果 A 為 n 階非奇異矩陣 ， 則用高斯 消去法解 Ax = b 所需的乘除法次數(shù)及加減法 次數(shù)分別為 6/)52)(1()2(33)1( 23??????nnnnnn加減法次數(shù)乘除法次數(shù)例如： n=10時 ， 高斯消去法需要 430次乘除法 ， 而 Cramer法則卻需要 39916800次乘法 。 四、高斯 — 約當消去法 (GaussJordan) 高斯消去法在消元時始終消去對角線下方的
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