三角函數(shù)解三角形專題(編輯修改稿)
2024-08-31 23:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ：函數(shù)f（x）的最小正周期為：（2）由于f（x）=則：f（）=sin（）=cosα=由于α是第一象限角所以：sinα=則：則：tan（α﹣）= 7．已知函數(shù)．（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最值及相應(yīng)的x值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，當(dāng)時(shí)，f（x）max=2．當(dāng)時(shí)，f（x）min=﹣1． 8．已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在上的值域．【解答】解：（Ⅰ），=+1，=2sin（2x+）+1，所以函數(shù)的最小正周期T=．（Ⅱ）由于，則：，所以，即，所以函數(shù)的值域?yàn)閒（x）． 9．已知函數(shù)f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x．（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]的最大值及所對(duì)應(yīng)的x值．【解答】解：（ I）由已知得=．所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．由，得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為．（ II）當(dāng)，則，∴．故函數(shù)f（x）的最大值為，由2x﹣=﹣得x=0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]的最大值及所對(duì)應(yīng)的x值是0． 10．已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x﹣1．化簡(jiǎn)可得：f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=，（2）由（1）可知，f（x）=sin（2x+），∵x∈[﹣，]上，∴2x+∈[]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]．故得函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值分別為1，． 11．已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、零點(diǎn)；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．【解答】解：函數(shù)．化簡(jiǎn)可得：f（x）=4sinx（cosx+sinx）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）（Ⅰ）∴函數(shù)f（x）的最小正周期T==π，令，即∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是．（Ⅱ）∵，∴．∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2．∴f（x）在區(qū)間上的最大值為2，最小值． 12．已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，設(shè)f（x）=．（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面積．【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，f（x）=．=，=，=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（k∈Z）．（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，f（A）=1，則：（0＜A＜π），解得：A=，利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．解得：bc=1所以△ABC的面積為：． 13．已知函數(shù)f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣2（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且c=（C）=﹣1，若2sinA=sinB，求△ABC的面積．【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x+cos2x﹣1=sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+）﹣1，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）由2f（C）=﹣1，得sin（2C+）=，∵0＜C＜π，∴＜2C+＜，∴2C+=，即C=．又2sinA=sinB，即b=2a；由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=3a2=3，∴a=1，b=2．∴S△ABC==． 14．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且2bcosC=2a+c．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若sin（）cos（）﹣sin2（）=，求cosC的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得2sinBcosC=2sinA+sinC，在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC=﹣sinC，
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