數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)-第二講-整-除(編輯修改稿)
2025-08-31 16:02 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ）由定義和上述求法不難得出最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的如下性質(zhì)：（1）.（2）設(shè)的公約數(shù)，則特別地，若.（3）設(shè)是任意n個(gè)正整數(shù)，如果，則.因，則，因而，同理可推出，如此類推最后可得. 于是，故是最大公約數(shù).（4）若，則一定有整數(shù)，使得.特別地，存在.這可由輾轉(zhuǎn)相除法的③式逆推而得.（5）若.（6）①；②的任一公倍數(shù)，則；③，特別地，若.①可由③直接得到，②可由最小公倍數(shù)定義得，③根據(jù)①、②式知，.（7），則.③類似的方法來證明.Ⅲ.方冪問題 ，當(dāng)時(shí)稱為次方問題，當(dāng)時(shí)，稱為平方和問題. ，關(guān)于平方數(shù)，明顯有如下一些簡單的性質(zhì)和結(jié)論： （1）平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9. （2）偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被8除余1，即任何平方數(shù)被4除的余數(shù)只能是0或1. （3）奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù). （4）十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是6. （5）不能被3整除的數(shù)的平方被3除余1，平方數(shù)被9除的余數(shù)為0，1，4，7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9除的余數(shù)也只能為0，1，4，7. （6）平方數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù). （7）任何四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個(gè)平方數(shù). 進(jìn)一步研究可得到有關(guān)平方和的幾個(gè)結(jié)論: 定理三：奇素?cái)?shù)能表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方和的充要條件是 定理四：設(shè)正整數(shù)，其中不再含平方因數(shù)，能表示成兩個(gè)整數(shù)的平方的充要條件是沒有形如的質(zhì)因數(shù). 定理五：每個(gè)正整數(shù)都能表示成四個(gè)整數(shù)的平方和. ，比如著名的勾股數(shù)問題.賽題精講 例1：證明：對于任何自然數(shù)和，數(shù)都不能分解成若干個(gè)連續(xù)的正整數(shù)之積.（1981年全國高中聯(lián)賽試題） 【證明】由性質(zhì)9知， 3 1，故3 ，因而不能分解成三個(gè)或三個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)的積. 再證不能分解成兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積. 由上知，因而只需證方程：，均不是形的數(shù)來說明. 故對任何正整
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