數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)-第二講-整-除(已修改)
2025-08-16 16:02 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo) 第二講 整除知識(shí)、方法、技能整除是整數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，這里僅介紹其中的幾個(gè)方面：整數(shù)的整除性、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、方冪問(wèn)題.Ⅰ. 整數(shù)的整除性初等數(shù)論的基本研究對(duì)象是自然數(shù)集合及整數(shù)集合. 我們知道，整數(shù)集合中可以作加、減、乘法運(yùn)算，并且這些運(yùn)算滿足一些規(guī)律（即加法和乘法的結(jié)合律和交換律，加法與乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，則不一定是整數(shù). 由此引出初等數(shù)論中第一個(gè)基本概念：整數(shù)的整除性.定義一：（帶余除法）對(duì)于任一整數(shù)和任一整數(shù)，必有惟一的一對(duì)整數(shù)，使得，并且整數(shù)和由上述條件惟一確定，則稱為除的不完全商，稱為除的余數(shù).若，則稱整除，或被整除，或稱的倍數(shù)，或稱的約數(shù)（又叫因子），| .任何的非的約數(shù)，叫做的真約數(shù).0是任何整數(shù)的倍數(shù)，1是任何整數(shù)的約數(shù).任一非零的整數(shù)是其本身的約數(shù)，也是其本身的倍數(shù).由整除的定義，不難得出整除的如下性質(zhì)：（1）若（2）若（3）若，則反之，亦成立.（4），若.（5）、互質(zhì)，若（6）為質(zhì)數(shù)，若則必能整除中的某一個(gè).特別地，若為質(zhì)數(shù)，（7）如在等式中除開(kāi)某一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都是的倍數(shù)，則這一項(xiàng)也是的倍數(shù).（8）n個(gè)連續(xù)整數(shù)中有且只有一個(gè)是n的倍數(shù).（9）任何n個(gè)連續(xù)整數(shù)之積一定是n的倍數(shù).本講開(kāi)始在整除的定義同時(shí)給出了約數(shù)的概念，又由上一講的算術(shù)基本定理，我們就可以討論整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)了.定理一：設(shè)大于1的整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為為質(zhì)數(shù)，均為非負(fù)整數(shù)），則a的約數(shù)的個(gè)數(shù)為.所有的約數(shù)和為：.事實(shí)上，由算術(shù)基本定理的推論知，而各約數(shù)的和就是展開(kāi)后的各項(xiàng)之和，所以例如，25200=2432527，所以，.Ⅱ. 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)定義二：設(shè)、：，則稱的公約數(shù)，的所有公約數(shù)中的最大者稱為的最大公約數(shù)，=1，則稱互質(zhì)或互素.定義三：如果、的倍數(shù)，則稱、的公倍數(shù). 的公倍數(shù)中最小
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