【正文】 （二）教學(xué)目標(biāo)1．封閉與非封閉植樹(shù)路線的講解及生活運(yùn)用。2．掌握空心方陣和實(shí)心方陣的變化規(guī)律．3．幾何圖形的設(shè)計(jì)與構(gòu)造知識(shí)點(diǎn)撥一、植樹(shù)問(wèn)題分兩種情況：（一）不封閉的植樹(shù)路線.① 若題目中要求在植樹(shù)的線路兩端都植樹(shù)，則棵數(shù)比段數(shù)多1.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)株距　全長(zhǎng)株距(棵數(shù))株距全長(zhǎng)(棵數(shù))　?、?如果題目中要求在路線的一端植樹(shù)，則棵數(shù)就比在兩端植樹(shù)時(shí)的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長(zhǎng)株距棵數(shù)；棵數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)株距；株距全長(zhǎng)棵數(shù).③ 如果植樹(shù)路線的兩端都不植樹(shù)，則棵數(shù)就比②中還少1棵. 全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)株距.株距全長(zhǎng)(棵數(shù)).全長(zhǎng)株距(棵數(shù)+1)（二）封閉的植樹(shù)路線.在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹(shù)，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹(shù)的棵數(shù)等于分成的段數(shù).全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：棵數(shù)段數(shù)周長(zhǎng)株距.二、解植樹(shù)問(wèn)題的三要素（1）總路線長(zhǎng)（2）間距（棵距）長(zhǎng)（3）棵數(shù)，只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)．三、方陣問(wèn)題（1）明確空心方陣和實(shí)心方陣的概念及區(qū)別.（2）每邊的個(gè)數(shù)＝總數(shù)247?！?；（3）每向里一層每邊棋子數(shù)減少； （4）掌握計(jì)算層數(shù)、每層個(gè)數(shù)、總個(gè)數(shù)的方法，及每層個(gè)數(shù)的變化規(guī)律。例題精講模塊一、封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題【例 1】 小強(qiáng)家附近的公園里有一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)1500是米，每隔3米栽種一棵樹(shù)．問(wèn)：共需樹(shù)苗多少株？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 因?yàn)閳A形池塘是一個(gè)封閉的模型，所以我們直接運(yùn)用公式棵數(shù)＝段數(shù)＝周長(zhǎng)247。株距，從而有樹(shù)苗：1500247。3＝500（株）.【答案】株【鞏固】 周叔叔家有一個(gè)長(zhǎng)40米，寬30米的長(zhǎng)方形魚(yú)塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳樹(shù)，需要栽多少棵柳樹(shù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】1星 【題型】解答【解析】 （米），（棵）．【答案】棵【例 2】 在一個(gè)長(zhǎng)345米、寬240米的長(zhǎng)方形草坪四周等距離地栽一些松樹(shù)，要求四個(gè)頂點(diǎn)和每邊中點(diǎn)都正好栽一棵松樹(shù)，則最少要買松樹(shù)苗 棵?！究键c(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第9題【解析】 先找出兩邊中點(diǎn)數(shù)1：（345+240）247。=156（棵）【答案】棵【例 3】 公園內(nèi)有一個(gè)圓形花壇，繞著它走一圈是120米．如果沿著這一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？?jī)芍晗噜彽亩∠慊ㄖg的2株月季花相距多少米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 在圓周上栽樹(shù)時(shí)，由于開(kāi)始栽的一棵與依次栽的最后一棵將會(huì)重合在一起，所以可栽的株數(shù)正好等于分成的段數(shù)．由于每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花，所以栽月季花的株數(shù)等于2乘以段數(shù)的積．要求兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距多少米？需要懂得兩株相鄰的丁香花之間等距離地栽2株月季花，圓形花壇一圈可分的段數(shù)，即是栽丁香花的株數(shù)：120247。6＝20(株)，栽月季花的株數(shù)是：220＝40(株)，每段上丁香花和月季花的總株數(shù)是：2＋2＝4(株)，4株花栽在6米的距離中，有3段相等的距離，每?jī)芍曛g的距離是：6247。(41)＝2(米).【答案】丁香花的株數(shù)20株，月季花的株數(shù)40株，兩株相鄰的丁香花之間的2株月季花相距2米?！眷柟獭?一個(gè)圓形花壇，？多少棵月季？?jī)煽迷录局g的株距是多少米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 ①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問(wèn)題，其株數(shù)=段數(shù).② 由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍.解：共可栽芍藥花：(棵) 共種月季花：(棵)兩種花共：(棵)兩棵花之間距離：(米)相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米.【答案】芍藥花棵，月季花棵，月季花的株距是2米或4米【鞏固】 在某校周長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上，每隔8米插一面紅旗，然后在相鄰兩面紅旗之間每隔2米插一面黃旗，應(yīng)準(zhǔn)備紅旗______面，黃旗______面．【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】2星 【題型】填空【解析】 (紅旗)，(黃旗) 【答案】紅旗面，黃旗面【例 4】 大雪后的一天，小明和爸爸共同步測(cè)一個(gè)圓形花圃的周長(zhǎng)．他倆的起點(diǎn)和走的方向完全相同，小明的平均步長(zhǎng)是54厘米，爸爸的平均步長(zhǎng)是72厘米，由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點(diǎn)，這時(shí)雪地上只留下60個(gè)腳印，這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少厘米？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 通過(guò)畫(huà)圖使學(xué)生明白從第一個(gè)重合點(diǎn)（起點(diǎn)）到下一個(gè)重合點(diǎn)之間的距離是216厘米，，從而知在兩個(gè)重合點(diǎn)之間，爸爸留下腳印3個(gè)，小明留下腳印4個(gè)，去掉一個(gè)重合的腳印，共留下腳印(個(gè))，因?yàn)閺钠瘘c(diǎn)到最后雪地上共留下腳印60個(gè)，所以花圃的周長(zhǎng)是（厘米）．【答案】厘米【鞏固】 ，當(dāng)挖完30個(gè)坑時(shí)，突然接到通知：，他們還要挖多少個(gè)坑才能完成任務(wù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 這道題的關(guān)鍵就在之間每3米一個(gè)，已經(jīng)挖的坑，和后來(lái)改成5米挖一個(gè)坑，有多少個(gè)是重復(fù)不需要挖的，那么一步一步分析如下： (1)從第1個(gè)坑到第30個(gè)坑，共有多長(zhǎng)？ (米) (2)改為“每5米栽一棵樹(shù)”，有多少坑仍然有用？ ，(個(gè)) (3)改為“每5米栽一棵樹(shù)”，一共應(yīng)挖多少個(gè)坑？ (個(gè)) (4)還要挖多少個(gè)？ (個(gè)) 【答案】個(gè)【例 5】 一個(gè)街心花園如右圖所示．它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成．已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開(kāi)始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花．問(wèn)大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 大三角形三條邊上共栽花：（92－1－1）3＝48（棵），中間畫(huà)斜線小三角形三條邊上栽花：（9－2）3＝21（棵），整個(gè)花壇共栽花：48＋21＝69（棵）.【答案】棵【例 6】 正方形操場(chǎng)四周栽了一圈樹(shù)，四個(gè)角上都栽了樹(shù)，、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā)，向不同的方向走去，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹(shù)與甲相遇（把角上的樹(shù)看作第一棵樹(shù)），操場(chǎng)四周栽了多少棵樹(shù)？【考點(diǎn)】封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 因?yàn)榧椎乃俣仁且业膬杀?，乙走了操?chǎng)的一條邊，甲走了兩條邊，乙拐了一個(gè)彎之后走到第5棵樹(shù)，實(shí)際走了4個(gè)間隔，那么甲應(yīng)該走了8個(gè)間隔，相遇的樹(shù)就是甲拐彎以后走的第9棵樹(shù)，所以這一邊有9+413（棵）（131）448（棵）.【答案】棵模塊二、方陣問(wèn)題【例 7】 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上，有一大一小兩個(gè)方陣合并變換成一個(gè)行列的方陣，求原來(lái)兩個(gè)方陣各有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 根據(jù)時(shí)間多少和學(xué)生具體情況可考慮教給學(xué)生平方數(shù)的概念，并記住一些簡(jiǎn)單的平方數(shù).行列的方陣由人組成，原來(lái)的小方陣每行或每列人數(shù)都不會(huì)超過(guò)人，大方陣人數(shù)應(yīng)該在之間，可取或，運(yùn)用枚舉法，可求出滿足條件的是：大方陣有人，小方陣有人．【答案】大方陣有人，小方陣有人【例 8】 小華觀看團(tuán)體操表演，他看到表演隊(duì)伍中的一個(gè)方陣變換成一個(gè)正三角形實(shí)心隊(duì)列，他估計(jì)隊(duì)伍中人數(shù)大概在至人之間，你能告訴他到底有多少人嗎？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方陣總?cè)藬?shù)的特點(diǎn):它是兩個(gè)相同自然數(shù)的積，而三角形隊(duì)列總?cè)藬?shù)的特點(diǎn)是:總數(shù)是從開(kāi)始若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，我們只要在的范圍內(nèi)找出同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的數(shù)就可以得出總?cè)藬?shù)．由于隊(duì)伍可以排成方陣，在至人的范圍內(nèi)人數(shù)可能是人或人，又因?yàn)?，所以總?cè)藬?shù)是人．【答案】人【例 9】 同學(xué)們做操，小林站在左起第列，右起第列；從前數(shù)前面有個(gè)同學(xué)，從后數(shù)后面有個(gè)同學(xué)．每行每列的人數(shù)同樣多，做操的同學(xué)一共有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 帶領(lǐng)學(xué)生畫(huà)圖求解．一共有幾行？列式：（行） 一共有幾列？列式：（列） 一共有多少人？列式：（人）【答案】人【鞏固】 一群小猴排成整齊的隊(duì)伍做操，長(zhǎng)頸鹿站在隊(duì)伍旁邊，一下子看到了他的好朋友金絲猴．長(zhǎng)頸鹿數(shù)了數(shù)，金絲猴的左邊有只猴，右邊也有只猴，前面有只猴，后面也有只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操嗎？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 一共有多少行？列式：（行） 一共有多少列？列式：（列） 一共有多少只猴子？（只）．【答案】人【鞏固】 小朋友們做廣播體操，小明恰好站在隊(duì)列的正中心，此時(shí)無(wú)論是從前往后或者從后往前數(shù)他都排在第5個(gè)，無(wú)論是從左往右或者是從右往左數(shù)他都排在第6個(gè)，則這個(gè)隊(duì)列中一共有________位小朋友．【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，陳省身杯【解析】 根據(jù)題意知：每列有(人)，每行有（人），則這個(gè)隊(duì)列共有：（人）．【答案】人【例 10】 希望小學(xué)舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)，全體運(yùn)動(dòng)員的編號(hào)是從1開(kāi)始的連續(xù)整數(shù)，他們按圖1中實(shí)線所示，從第1行第1列開(kāi)始，按照編號(hào)從小到大的順序排成一個(gè)方陣。小明的編號(hào)是28，他排在第3行第4列，則運(yùn)動(dòng)員共有 人?！究键c(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 28號(hào)在第3行第4列，那么前兩行共有284＝24人，每行有24247。2＝12人，共有1212＝144人?！敬鸢浮咳恕纠?11】 四年級(jí)一班同學(xué)參加了廣播操比賽，排成每行人，每列人的方陣，問(wèn)方陣中共有多少學(xué)生？如果去掉一行一列．還剩多少同學(xué)？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 可以根據(jù)“實(shí)心方陣總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)每邊人數(shù)”得到行列的實(shí)心方陣人數(shù)為：（人），去掉一行一列后，還剩行列，也可通過(guò)同樣的方法得出總?cè)藬?shù)為：（人）．【答案】行列的實(shí)心方陣人數(shù)為人，去掉一行一列后，還剩人。【鞏固】 名同學(xué)排成一個(gè)方陣，后來(lái)又減去一行一列，問(wèn)減少了多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 和前兩題比僅僅是數(shù)量上的增加，此時(shí)可帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)規(guī)律：去掉一行一列后要加上重復(fù)的那一個(gè)．名同學(xué)排成一個(gè)方陣，后來(lái)又減去一行一列，剩下的是行列的方陣，即剩下人，減少了 人．【答案】人【鞏固】 軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)行列的正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 一行一列各人，頂點(diǎn)處重復(fù)．人，因?yàn)榻巧系囊粋€(gè)同學(xué)被重復(fù)數(shù)了兩次，所以要把多算的一次減掉．【答案】人【例 12】 學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉人，問(wèn)這個(gè)方陣共有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 由上題思路，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行逆向思維．學(xué)生排成一正方形隊(duì)列表演，去掉一行一列，去掉了人，那我們就要思考每行去掉了幾個(gè)同學(xué)，因?yàn)槭钦叫侮?duì)列，所以每行每列人數(shù)一樣多，但在數(shù)的時(shí)候，站在角落的同學(xué)被數(shù)了兩個(gè)，那么現(xiàn)在求每行的人數(shù)時(shí)就要在里面多加一個(gè)．現(xiàn)在每行的人數(shù)是：（人），共（人）．【答案】人【鞏固】 學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，排成了一個(gè)正方形隊(duì)列，如果去掉一行一列，要去掉人，問(wèn)這個(gè)方陣共有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 每行：（人），總?cè)藬?shù)：（人）．【答案】人【例 13】 二年級(jí)舞蹈隊(duì)為全校做健美操表演，組成一個(gè)正方形隊(duì)列，后來(lái)由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人數(shù)正好是人，那么原來(lái)準(zhǔn)備參加健美操表演的有多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 可先讓學(xué)生自己畫(huà)圖實(shí)踐，從3乘3的方陣變成4乘4的如何進(jìn)行，掌握畫(huà)法后再來(lái)思考這題．因增加的是一行一列，而行、列人數(shù)仍應(yīng)相等，但為什么增加的卻是人，因有人是既在他所在的行，又在他所在的列．若把它減掉，剩下人數(shù)恰是原兩行或兩列的人數(shù)，則原來(lái)一行或一列的人數(shù)可求．參加健美操表演的人數(shù)可求． 列式： (人)，(人)．【答案】人【鞏固】 某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成方陣行軍，另一支隊(duì)伍共人加入他們的方陣，正好使橫豎各增加一排，現(xiàn)共有多少戰(zhàn)士？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 后來(lái)的戰(zhàn)士加入方陣時(shí)，是在原方陣外側(cè)橫豎方向各增加一排，那么有一個(gè)戰(zhàn)士要站在這兩排的交界處，計(jì)算橫排豎排的人數(shù)時(shí)，對(duì)他進(jìn)行了重復(fù)計(jì)算，也就是說(shuō)現(xiàn)在每一排實(shí)際人數(shù)是（人），因此可以求出總?cè)藬?shù)：（人）．【答案】人【例 14】 育新小學(xué)召開(kāi)秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，準(zhǔn)備在正方形的操場(chǎng)周圍插上彩旗．如果4個(gè)角上都要插上一面彩旗，要使每邊有7面彩旗，那么一共要準(zhǔn)備多少面彩旗才行？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 心急的學(xué)生會(huì)很配合的說(shuō)28，此時(shí)可提示他們想想，彩旗不夠，能不能少點(diǎn)？根據(jù)題目的要求畫(huà)出示意圖：我們把這些彩旗按照?qǐng)D中所示的方式分成相等的4部分，可以看出每一部分都有面旗．(面)，一共準(zhǔn)備24面彩旗．【答案】面【例 15】 某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人．問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？【考點(diǎn)】方陣問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【解析】 根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了．所以方陣最外層每邊人數(shù)：(人)，整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：(人)．【答案】方陣最外層每邊人數(shù)人，整個(gè)方