【正文】 分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算教學(xué)目標(biāo)本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算大板塊內(nèi)容，其實(shí)分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)很大程度上是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，可以分為觀察、改造、運(yùn)用公式等過程。很多時(shí)候裂項(xiàng)的方式不易找到，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或者先進(jìn)行一部分運(yùn)算，使其變得更加簡單明了。本講是整個(gè)奧數(shù)知識(shí)體系中的一個(gè)精華部分，列項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的，所以先找通項(xiàng)是裂項(xiàng)的前提，是能力的體現(xiàn)，對學(xué)生要求較高。知識(shí)點(diǎn)撥分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)一、“裂差”型運(yùn)算將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，常見的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無需復(fù)雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本的。(1)對于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有(2)對于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：，形式的，我們有：裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。（2）分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”（3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。二、“裂和”型運(yùn)算：常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：（1） （2）裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。例題精講【例 1】 ?！究键c(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】美國長島，小學(xué)數(shù)學(xué)競賽【解析】 原式提醒學(xué)生注意要乘以(分母差)分之一，如改為：，計(jì)算過程就要變?yōu)椋海敬鸢浮俊眷柟獭俊究键c(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【鞏固】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【例 2】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問題。此類問題需要從最簡單的項(xiàng)開始入手，通過公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開始，對分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有，……， 原式【答案】【例 3】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】【答案】【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽，六年級(jí)【解析】 原式【答案】【鞏固】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】臺(tái)灣，小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，初賽【解析】 原式 【答案】【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【例 4】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】101中學(xué)【解析】 原式 【答案】【鞏固】 _______【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)【解析】 根據(jù)裂項(xiàng)性質(zhì)進(jìn)行拆分為：【答案】【鞏固】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】6星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽【解析】 原式 【答案】【鞏固】 計(jì)算：＝ 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級(jí)，決賽【解析】 原式【答案】【鞏固】 ?！究键c(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【例 5】 計(jì)算：【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】華杯賽，總決賽，二試【解析】 原式【答案】【例 6】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)?！窘馕觥?原式【答案】【例 7】 計(jì)算：【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào)，初賽【解析】 原式【答案】【鞏固】 計(jì)算：= ?！究键c(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，1試【解析】 原式 【答案】【鞏固】 計(jì)算： ____。【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí) 【解析】 原式 【答案】【鞏固】 計(jì)算：【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 分析這個(gè)算式各項(xiàng)的分母，可以發(fā)現(xiàn)它們可以表示為：，……，所以原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： ． 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】四中【解析】 原式【答案】【例 8】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 首先分析出原式【答案】【鞏固】 計(jì)算：【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝【答案】【鞏固】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】【答案】【鞏固】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 ＝＝－＝－ ＝＝－＝－ ＝＝－＝－……＝＝－＝－原式【答案】【例 9】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【鞏固】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【例 10】 計(jì)算： ． 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目．但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2．相比較于2，4，6，……這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第個(gè)數(shù)恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3，所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算．原式 也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為，所以，再將每一項(xiàng)的與分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng)．后面的過程與前面的方法相同．【答案】【鞏固】 計(jì)算：【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】迎春杯，初賽，五年級(jí)【解析】 本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號(hào)內(nèi)的算式：．這個(gè)算式不同于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況．所以應(yīng)當(dāng)對分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式．觀察可知，……即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所以　　　　所以原式．（法二）上面的方法是最直觀的轉(zhuǎn)化方法，但不是唯一的轉(zhuǎn)化方法．由于分子成等差數(shù)列，而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中為公差．如果能把分子變成這樣的形式，再將與分開，每一項(xiàng)都變成兩個(gè)分?jǐn)?shù)，接下來就可以裂項(xiàng)了．，所以原式．（法三）本題不對分子進(jìn)行轉(zhuǎn)化也是可以進(jìn)行計(jì)算的：所以原式．（法四）對于這類變化較多的式子，最基本的方法就是通項(xiàng)歸納．先找每一項(xiàng)的通項(xiàng)公式：（，3，……，9）如果將分子分成和1，就是上面的法二；如果將分子分成和，就是上面的法一．【答案】【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會(huì)是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù)．即：原式現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話無法全部相消，需要對分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項(xiàng)中分子、分母的對稱性，可以用平方差公式：，……原式【答案】【例 11】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】4星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【例 12】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】4星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： . 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】4星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式為階乘的形式，較難進(jìn)行分析，但是如果將其寫成連乘積的形式，題目就豁然開朗了．原式【答案】【例 13】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝【答案】【鞏固】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 ，……，所以原式【答案】【鞏固】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】2星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【例 14】 . 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校【解析】 這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項(xiàng)：，原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 ，……所以，原式【答案】【鞏固】 計(jì)算：【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： ． 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： ． 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 ，，……由于，，可見原式【答案】【鞏固】 計(jì)算： ． 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 式子中每一項(xiàng)的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?，，……，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了．原式【答案】【例 15】【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】【答案】【鞏固】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【關(guān)鍵詞】第三屆，祖沖之杯，人大附中 【解析】 原式==【答案】【鞏固】計(jì)算： 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式【答案】【鞏固】 【考點(diǎn)】分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【難度】3星 【題型】計(jì)算 【解析】 原式 【答案】【鞏固】 【考點(diǎn)】