【正文】 工程問題（三）教學目標1. 熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關系與一般解法；2. 工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學會分段處理；3. 根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；4. 工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術方法在其他類型題目中的應用．知識精講工程問題是小學數(shù)學應用題教學中的重點，是分數(shù)應用題的引申與補充，是培養(yǎng)學生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應用題，它具有抽象性，學生認知起來比較困難。在教學中，讓學生建立正確概念是解決工程應用題的關鍵。一． 工程問題的基本概念定義 ： 工程問題是指用分數(shù)來解答有關工作總量、工作時間和工作效率之間相互關系的問題。工作總量：一般抽象成單位“1”工作效率：單位時間內(nèi)完成的工作量三個基本公式：工作總量=工作效率工作時間，工作效率=工作總量247。工作時間，工作時間=工作總量247。工作效率；二、為了學好分數(shù)、百分數(shù)應用題，必須做到以下幾方面：① 具備整數(shù)應用題的解題能力，解決整數(shù)應用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應用于分數(shù)、百分數(shù)應用題；② 在理解、掌握分數(shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運用；③ 學會畫線段示意圖．線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應關系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復雜的條件與問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷和推理； ④ 學會多角度、多側面思考問題的方法．分數(shù)、百分數(shù)應用題的條件與問題之間的關系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法．因此，在解題過程中，要善于掌握對應、假設、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路．三、利用常見的數(shù)學思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關系，轉(zhuǎn)化出與所求相關的工作效率，最后再利用先前的假設“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案．一般情況下，工程問題求的是時間．例題精講工程問題方法與技巧（一）等量代換法【例 1】 甲、乙兩隊合作挖一條水渠要天完成，若甲隊先挖天后，再由乙隊單獨挖天，共挖了這條水渠的．如果這條水渠由甲、乙兩隊單獨挖，各需要多少天？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 法一：甲、乙合作完成工程的需要：(天)．甲隊先做天，比合作少了(天)；乙隊后做天，比合作多了(天)，所以甲隊做天相當于乙隊做天，甲、乙兩隊工作效率的比是．甲隊單獨工作需要：(天)；乙隊單獨工作需要：(天)。法二：我們知道，甲乙合作，每天可以完成工程的，而題目中給定的“甲隊先挖天，再由乙隊單獨挖天”，相當于甲乙兩隊先合作天，然后再由乙隊單獨挖天，于是兩隊合作天，可以完成工程的，也就是說乙隊天挖了，于是乙隊的工作效率為，那么甲隊的工作效率就是，即甲隊單獨做需要天，乙隊單獨做需要天。工程問題里面也經(jīng)常用到比例，是因為工程問題的基本數(shù)量關系是乘法關系．其實這一點是與工程習慣無關的．【答案】甲隊單獨做需要天，乙隊單獨做需要天【例 2】 一項工程，甲、乙、乙就要多做4天，或者由甲、？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 丙2天的工作量，247。2=2（倍），甲、乙合作1天，相當于乙做3天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要天【答案】天【例 3】 抄一份書稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相當甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人單獨抄需要多少天才能完成？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成書稿的，又已知甲每天抄寫量等于乙、丙兩人每天抄寫量之和，因此甲兩天抄寫書稿的，即甲每天抄寫書稿的；由于丙抄寫5天相當于甲乙合抄一天，從而丙6天抄寫書稿的，即丙每天抄寫書稿的；于是可知乙每天抄寫書稿的＝.所以乙一人單獨抄寫需要1247。=24天才能完成．【答案】24天【例 4】 一項工程，甲獨做天完成，甲天的工作量，乙要天完成．兩隊合做天后由乙隊獨做，還要幾天才能完成？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 法一：我們把工程看作兩個人分別完成的，那么顯然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整個工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的，因此甲4天完成的量，乙需要天完成，除去與甲合作的2天以外，乙還要做天。法二：甲的工作效率為，所以乙的工作效率為．兩隊合作2天后乙隊獨做還要天才能完成．【答案】天【例 5】 打印一份書稿，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內(nèi)完成．甲、乙兩人合做需要幾天完成？【考點】工程問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)“甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨做，那么剛好在規(guī)定時間內(nèi)完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成這項工作甲、乙所用的時間比是．另外，由于甲、乙單獨做，乙用的時間比甲多天，所以乙獨做需要的天數(shù)是：(天)，甲獨做需要(天)，甲、乙合做需要(天)．【答案】(天)【例 6】 一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從圖中可以直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量．于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需要(天)完成，即乙的工作效率是．又因為乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，為，那么甲、乙合作完成這一工程需要的時間為(天)．【答案】天【鞏固】 一件工作甲先做小時，乙接著做小時可以完成；甲先做小時，乙接著做小時也可以完成．如果甲做小時后由乙接著做，還需要多少小時完成？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)題意可知，甲做小時的工作量等于乙做小時的工作量， 可見甲做1小時的工作量等于乙做3小時的工作量．那么可以用乙做3小時來代換甲做1小時，可知乙完成全部工作需要小時，甲先做的3小時相當于乙做了9小時，所以乙還需要小時．【答案】小時【鞏固】 一份文件，如果甲抄10小時，乙抄10小時可以抄完；如果甲抄8小時，乙抄13小時也可以抄完．現(xiàn)在甲先抄2小時，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時才能完成？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由題意可知，甲、乙合作的效率為；將甲抄8小時，乙抄13小時，轉(zhuǎn)化為甲乙和抄8小時，乙單獨抄5小時，則乙單獨工作的效率為， 所以甲單獨工作的效率．甲、乙兩人的工作效率之比為．甲先抄2小時，這2小時的工作量如果兩人合作，需要小時，所以剩下的工作量由甲、乙合作，還需要小時．【答案】小時【例 7】 一項工程，甲先做若干天后由乙繼續(xù)做，丙在工程完成時前來幫忙，待工程完成時離去，結果恰按計劃完成任務，其中乙做了工程總量的一半．如果沒有丙的參與，僅由乙接替甲后一直做下去，將比計劃推遲天完成；如果全由甲單獨做，則可比計劃提前天完成．還知道乙的工作效率是丙的倍，問：計劃規(guī)定的工期是多少天？【考點】工程問題 【難度】5星 【題型】解答 【關鍵詞】北大附中，資優(yōu)博雅杯【解析】 丙在工程完成一半時前來幫忙，待工程完成時離去，所以乙、丙合做了全部工程的；如果丙不來幫忙，這的工程由乙獨做，那么乙完成這的工程時間將比乙、丙合做多用天．由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和為乙獨做的倍，那么乙獨做所用的時間為乙、丙合做所用時間的倍，所以乙、丙合做這的工程所用的時間為天．那么乙的工效為．由于在丙來幫忙的情況下乙共做了工程總量的一半，所以乙工作的天數(shù)為天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天(被分成了前后兩段)乙一個人獨做．那么乙、丙共完成了全部工程的，根據(jù)題意，這的工程如果由甲獨做，只需要天，那么甲的工效為．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲獨做可比計劃提前6天完成，所以原計劃工期是天．【答案】天（二）比例法【例 8】 一批零件平均分給甲、乙兩人同時加工，兩人工作小時，共完成這批零件的。已知甲與乙的工作效率之比是，那么乙還要幾小時才能完成分配的任務？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 乙小時完成總工作量的；乙每小時完成總工作量的；乙需要完成的總工作量為；乙要完成這個任務還需要的時間：（小時）【答案】小時【例 9】 一項工程，甲15天做了后，乙加入進來，甲、乙一起又做了，這時丙也加入進甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比為3：5，整個過程中，乙、丙工作的天數(shù)之比為2：1，問題中情形下做完整個工程需多少天? 【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：先把整個工程分為三個階段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率為又乙、丙工作的天數(shù)之比為(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ階段和Ⅲ階段所需的時間相等．即甲、乙合作完成的的工程與甲、乙、丙合作完成的工程所需的時間相等．所以對于工作效率有：(甲+乙)2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙乙=又有乙、丙的工作效率的比為3：5．易知乙的工作效率為丙的工作效率為：那么這種情形下完成整個工程所需的時間為：天.方法二：顯然甲的工作效率為設乙的工作效率為，那么丙的工作效率為．所以有乙工作的天數(shù)為丙工作的天數(shù)為且有即解得所以乙的工作效率為丙的工作效率為高那么這種情形下完成整個工程所需的時間為：天.【答案】天【例 10】 甲、乙、丙三村準備合作修筑一條公路，他們原計劃按派工，后因丙村不出工，將他承擔的任務由甲、乙兩村分擔，由丙村出工資360元，結果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任務，問甲、乙兩村各應分得丙村所付工資的多少元？【考點】工程問題 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 丙村出的元錢是不是應該按照甲乙兩村派出的人數(shù)比即來進行分配呢？我們仔細思考一下，發(fā)現(xiàn)丙村所出的錢應該是其他兩個村幫他完成的工作量，換句話說，我們應該考慮的是甲乙兩村各幫丙村出了多少人，然后再計算如何分配。甲、乙兩村共派出了人，而這80人，按照原計劃應是甲村派出人，乙村派出32人，丙村派出12人，所以，實際上甲村幫丙村派出了人，乙村幫丙村派出了人，所以丙村拿出的360元錢，也應該按來分配給甲、乙兩村，所以，甲村應分得：元，乙村應分得：元．【答案】元【例 11】 某工地用種型號的卡車運送土方．已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為，速度比為，運送土方的路程之比為，三種車的輛數(shù)之比為．工程開始時，乙、丙兩種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入，直到天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了天完成任務．那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】二中【解析】 由于甲、乙、丙三種卡車運送土方的路程之比為，速度之比為，所以它們運送次所需的時間之比為，相同時間內(nèi)它們運送的次數(shù)比為：．在前天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為．由于三種卡車載重量之比為，所以三種卡車的總載重量之比為．那么三種卡車在前天內(nèi)的工作量之比為：．在后天，由于甲車全部投入使用，所以在后天里的工作量之比為．所以在這天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：．【答案】【例 12】 甲、乙、丙三人承包一項工程，發(fā)給他們工資共1800元，三人完成這項工程的具體情況是：甲、乙兩人合作6天完成了工程的，因為甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了這項工程，按完成量的多少來付勞動報酬，甲、乙、丙各得多少元？【考點】工程問題 【難度】4星 【題型】解答【關鍵詞】清華附中【解析】 根據(jù)題意可知，甲、乙兩人的工作效率之和為；乙、丙兩人的工作效率之和為；甲、乙、丙三人的工作效率之和為．分別可求得甲的工作效率為，乙的工作效率為，丙的工作效率為，則甲完成的工程量為：，乙完成的工程量為：，丙完成的工程量為：，三人所完成的工作量之比為．所以，甲應得元，乙應得元，丙應得元．【答案】甲應得元，乙應得元，丙應得元【例 13】 放滿一個水池，如果同時打開1，2號閥門，則12分鐘可以完成；如果同時打開1，3號閥門，則15分鐘可以完成；如果單獨打開1號閥門，則20分鐘可以完成；那么，如果同時打開1，2，3號閥門， 分鐘可以完成。【考點】工程問題 【難度】3星 【題型】解答 【關鍵詞】學而思杯，6年級【解析】 單獨打開1號門，20分鐘可以完成，說明1號門每分鐘完成，而同時打開2號閘門12分鐘可以完成，說明2號閘門每分鐘完成，而現(xiàn)在同時打開3號閘門，15分鐘可以完成，說明3號閘門每分鐘完成，則同時打開3號閘門，需要分鐘?！敬鸢浮?