【正文】 例題精講模塊一、正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規(guī)定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網(wǎng)，其中的每個交點就叫做一個格點．在方格網(wǎng)中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個格點多邊形．那么，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數(shù)目有沒有關系？如果有，這兩者之間的關系能否用計算公式來表達？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用N表示多邊形內部格點，L表示多邊形周界上的格點，S表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數(shù)．我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：．這個規(guī)律就是畢克定理．畢克定理若一個格點多邊形內部有N個格點，它的邊界上有L個格點，則它的面積為．【例 1】 判斷下列圖形哪些是格點多邊形？ 【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】判斷【解析】 根據(jù)格點多邊形的定義可知，圖形的邊必須是直線段，頂點要在格點上！所以只有⑴是格點多邊形．【答案】⑴是格點多邊形【例 2】 如圖，計算各個格點多邊形的面積． 【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 本題所給的圖形都是規(guī)則圖形，它們的面積運用公式直接可求，只要判斷出相應的有關數(shù)據(jù)就行了． 方法一：圖⑴是正方形，邊長是4，所以面積是(面積單位)；圖⑵是矩形，長是5，寬是3，所以面積是(面積單位)；圖⑶是三角形，底是5，高是4，所以面積是(面積單位)；圖⑷是平行四邊形，底是5，高是3，所以面積是(面積單位)；圖⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面積是(面積單位)；圖⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面積是(面積單位)．如果兩格點之間的距離是2，能利用剛計算的結果說出相應面積么？(教師總結：面積數(shù)值均擴大4倍．)方法二：以上部分圖形除了利用各自的面積公式直接求出外，我們還可以從推導它們的面積公式過程中得到啟發(fā)，即用“割補法”或“擴展法”分別轉化成長方形來求．這一種方法很重要，在下面的題目中我們還將使用這種方法！如圖⑶，我們利用“擴展法”將其轉化，如圖所示，從圖中易知三角形面積是長方形面積的一半．如圖⑷，我們利用“割補法”將其陰影部分面積平移到右邊，轉化成一個長方形，從中易得平行四邊形面積．同理，圖⑸、⑹也可利用同樣的思想．【答案】圖⑴；圖⑵；圖⑶；圖⑷；圖⑸；圖⑹．【例 3】 如圖(a)，計算這個格點多邊形的面積． 【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 方法一(擴展法)．這是個三角形，雖然有三角形面積公式可用，但判斷它的底和高卻十分困難，只能另想別的辦法：這個三角形是處在長是寬是4的矩形內，除此之外還有其他三個直角三角形，如下右圖(b)，這三個直角三角形面積很容易求出，再用矩形面積減去這三個直角三角形面積，就是所要求的三角形面積．矩形面積是；直角三角形Ⅰ的面積是：；直角三角形Ⅱ的面積是：；直角三角形Ⅲ面積是；所求三角形的面積是(面積單位)．方法二(割補法)．將原三角形分割成兩個我們方便計算面積的三角形，如(c)圖．因此三角形的面積是：(面積單位)．【答案】【例 4】 右圖是一個方格網(wǎng)，計算陰影部分的面積．【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】新加坡小學數(shù)學奧林匹克競賽【解析】 擴展法．把所求三角形擴展成正方形ABCD中．這個正方形中有四個三角形：一個是要求的；另外三個分別是：ABE、FEC、DAF，它們都有一條邊是水平放置的，易求它們的面積分別為，．所以，圖中陰影部分的面積為：()．【答案】【例 5】 分別計算圖中兩個格點多邊形的面積． 【考點】格點型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 利用“擴展法”和“割補法”我們都可以簡單的得到第一幅圖的面積均為9面積單位．第二幅圖的面積均為10面積單位．【點評】“一個格點多邊形面積的大小很可能是由哪些因素決定呢？”“格點多邊形內部的格點數(shù)和周界上的格點數(shù)與格點多邊形的面積有沒有什么內在聯(lián)系呢？”下面我們就來探討一下！在鞏固中，我們發(fā)現(xiàn)兩個圖形面積相等．進一步還可以發(fā)現(xiàn)第一個圖形邊界上的格點數(shù)是8個；第二個圖形邊界上的格點數(shù)是10個，包含在圖形內的格點數(shù)也相等，都是6個．【答案】第一幅圖的面積均為9；第二幅圖的面積均為10．【鞏固】 求下列各個格點多邊形的面積． 【考點】格點型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 ⑴ ∵；，∴(面積單位)；⑵ ∵；，∴(面積單位)；⑶ ∵；，∴(面積單位)；⑷ ∵；，∴(面積單位)．用N表示多邊形內部格點，L表示多邊形周界上的格點，S表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數(shù)．我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：．這個規(guī)律就是畢克定理．【答案】⑴；⑵ ；⑶；⑷ 【例 6】 “鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？【考點】格點型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖形內部格點數(shù)；圖形邊界上的格點數(shù) ；根據(jù)畢克定理， 則(單位面積)．【答案】【例 7】 右圖是一個面積單位的圖形．求矩形內的箭形的面積．【考點】格點型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 箭形的面積(面積單位)．【答案】【例 8】 比較圖中的兩個陰影部分①和②的面積，它們的大小關系______【考點】格點型面積 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級，二試，第9題，6分【解析】 ①的面積為：，②的面積也為。所以兩塊陰影部分面積相等均為3?！敬鸢浮肯嗟取纠?9】 右圖中每個小正方形的面積都是1，那么圖中這只“狗”所占的面積是多少？【考點】格點型面積 【難度】4星 【題型】解答【解析】 圖形內部格點數(shù)為54，圖形周界上格點數(shù)為19．所以圖形的面積為：(面積單位)．【答案】【鞏固】 如圖，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？ 【考點】格點型面積 【難度】3星 【題型】解答【解析】 方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：(N+1)單位正方形面積，其中N為圖形內格點數(shù)，L為圖形周界上格點數(shù)．有N=4，L=7，則用粗線圍成圖形的面積為：(4+1)1=(平方厘米)方法二：如右上圖，先求出粗實線外格點內的圖形的面積，有①=3247。2=1．5，②=2247。2=1，③=2247。2=1，④=2247。2=1，⑤=2247。2=l，⑥=2247。2=1，還有三個小正方形，所以粗實線外格點內的圖形面積為1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：=．【答案】平方厘米【例 10】 第一屆保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學邀請賽在7月21日開幕，下面的圖形中，每一個小方格的面積是1，那么1三個數(shù)字所占的面積之和是多少？【考點】格點型面積 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】保良局亞洲區(qū)城市小學數(shù)學競賽【解析】 要計算三個數(shù)字所占的面積之和，可以先分別求出每個數(shù)字所占的面積．顯然，圖中的三個數(shù)字都可以看作格點多邊形，根據(jù)畢克定理，可以很方便地求出每個數(shù)字所占的面積．值得注意的是：數(shù)字“7”內部有兩個格點，而數(shù)字“2”和“1”內部都沒有格點．7所占的面積為：；2所占的面積為：；1所占的面積為：．所以，這三個數(shù)字所占的面積之和為：．【答案】【例 11】 的方格紙，小方格的面積是1平方厘米，小方格的頂點稱為格點．請你在圖上選7個格點，要求其中任意3個格點都不在一條直線上，并且使這7個點用直線連接后所圍成的面積盡可能大．那么，所圍圖形的面積是 平方厘米．【考點】格點型面積 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】小學數(shù)學奧林匹克 【解析】 為了使這7個點圍成最大的面積，這7個點應盡量在正方形的邊或頂點上，如圖選取7個點，圍成面積最大．最大面積為(平方厘米)．【答案】平方厘米【例 12】 兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格．現(xiàn)將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為，右下角的陰影部分(線狀)面積為，求大正方形的面積．【考點】格點型面積 【難度】5星 【題型】解答【關鍵詞】從小愛數(shù)學 【解析】 塊狀部分與線狀部分之間的部分稱為D，則D與前者共14個方格，與后者共17個方格，因此每個方格的面積是大正方形的面積為．【答案】平方厘米【例 13】 將邊長為正整數(shù)的正方形平均分成個小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點。例如：圖A中的格點是邊長為的正方形的格點。圖B中，在邊長為12的正方形中有四個完全相同的直角三角形。如果三角形的一條直角邊是3，那么這四個三角形各邊共經(jīng)過多少個格點？(每個格點只計一次) 【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第19題，10分【解析】 如下圖是一個三角形的示意圖，共經(jīng)過了33個格點【答案】個格點模塊二、三角形格點問題定義：所謂三角形格點多邊形是指：每相鄰三點成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．規(guī)定它的面積為1，以這樣的點為頂點畫出的多邊形為三角形格點多邊形．公式：關于三角形格點多邊形的面積同樣有它的計算公式：如果用S表示面積，N表示圖形內包含的格點數(shù)，L表示圖形周界上的格點數(shù)，那么有，就是格點多邊形面積等于圖形內部所包含格點數(shù)的2倍與周界上格點數(shù)的和減去2．【例 14】 如圖(a)，有21個點，每相鄰三個點成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．計算三角形ABC的面積． 【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 方法一：如圖(b)所示，在ABC內連接相鄰的三個點成DEF，再連接DC、EA、FB后是ABC可看成是由DEF分別延長FD、DE、EF邊一倍、一倍、二倍而成的，由等積變換不難得到， ，所以(面積單位)． 方法二：如圖(c)所示，作輔助線把圖Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分別移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，這樣可以通過數(shù)小正三角形的方法，求出ABC的面積為10． 方法三：如圖(d)所示：作輔助線可知：平行四邊形ARBE中有6個小正三角形，而ABE的面積是平行四邊形ARBE面積的一半，即，平行四邊形ADCH中有4個小正三角形，而ADC的面積是平行四邊形ADCH面積的一半，即．平行四邊形FBGC中有8個小正三角形，而FBC的面積是平行四邊形FBGC的一半，即：．所以(面積單位)． 【答案】【鞏固】 如圖，每相鄰三個點所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形，計算ABC的面積．【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 因為；：所以(面積單位)．【答案】【例 15】 求下列格點多邊形的面積(每相鄰三個點“∵”或“∴”成面積為1的等邊三角形)． 【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 ⑴ ∵；，∴(面積單位)； ⑵ ∵；，∴(面積單位)；⑶ ∵；，∴(面積單位)；⑷ ∵；，∴(面積單位)．【答案】（1）；（2）；（）【例 16】 把大正三角形每邊八等分，組成如右圖所示的三角形網(wǎng)．如果大三角形的面積是128，求圖中粗線所圍成的三角形的面積．【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 圖中有(個)小三角形，那么一個小三角形的面積是，圖形內部格點數(shù)為12，圖形周界上格點數(shù)為4；圖形的面積為：(面積單位)，進而得圖形的面積為：．【答案】【例 17】 如圖，如果每一個小三角形的面積是1平方厘米，那么四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？ 【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】 法一：正三角形方形格點陣中多邊形面積公式：(2N+L2)x單位正三角形面積，其中N為圖形內格點數(shù)，L為圖形周界上格點數(shù)．有N=9，L=4，所以用粗線圍成的圖形的面積為：(92+42)1=20(平方厘米)．法二：如下圖，我們先數(shù)出粗實線內完整的小正三角形有10個，而將不完整的小正三角形分成4部分計算，其中①部分對應的平行四邊形面積為4，所以①部分的面積為2，②、③、④部分對應的平行四邊形面積分別為2，8，6，所以②、③、④部分的面積分別為1，4，3．所以粗實線內圖形的面積為10+2+1+4+3=20(平方厘米)．【答案】平方厘米【例 18】 如果下圖中任意相鄰的三個點構成的三角形面積都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面積是_____平方厘米． 【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【解析】【答案】平方厘米模塊三、構造格點進行解題【例 19】 圖中正六邊形ABCDEF的面積是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積．【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】華杯賽 【解析】 如圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個小正三角形．根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積，面積，面積，四邊形ABQP面積．上述三塊面積之和為．因此，陰影四邊形CEPQ面積為．【答案】【例 20】 正六邊形ABCDEF的面積是6平方厘米．M是AB中點，N是CD中點，P是EF中點．問：三角形MNP的面積是多少平方厘米？【考點】格點型面積 【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】華杯賽【解析】 將正六邊形分成六個面積為1平方厘米的正三角形，再取它們各邊的中點將每個正三角形分為4個小正三角形．于是正六邊形ABCDEF被分成了24個小正三角形，每一個小正三