【正文】 相遇與追及問題教學目標 根據(jù)學習的“路程和＝速度和 時間”繼續(xù)學習簡單的直線上的相遇與追及問題 研究行程中復雜的相遇與追及問題 通過畫圖使較復雜的問題具體化、形象化，融合多種方法達到正確理解題目的目的 培養(yǎng)學生的解決問題的能力 知識精講一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時出發(fā)，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度相遇時間+乙的速度相遇時間＝（甲的速度+乙的速度）相遇時間＝速度和相遇時間.一般地，相遇問題的關系式為：速度和相遇時間=路程和，即二、追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內(nèi)：追及路程＝甲走的路程乙走的路程＝甲的速度追及時間乙的速度追及時間＝（甲的速度乙的速度）追及時間＝速度差追及時間. 一般地，追擊問題有這樣的數(shù)量關系：追及路程=速度差追及時間，即例如：假設甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(0米)處，乙位于中間5米處，經(jīng)過時間t后甲乙同時到達終點，甲乙的速度分別為和，那么我們可以看到經(jīng)過時間t后，甲比乙多跑了5米，或者可以說，在時間t內(nèi)甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時間t追了乙5米三、在研究追及和相遇問題時，一般都隱含以下兩種條件：(1)在整個被研究的運動過程中，2個物體所運行的時間相同(2)在整個運行過程中，2個物體所走的是同一路徑。例題精講模塊一、直線上的相遇問題【例 1】 一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行48千米。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 本題是簡單的相遇問題，根據(jù)相遇路程等于速度和乘以相遇時間得到甲乙兩地路程為：（46+48）=94=329（千米）．【答案】329千米【鞏固】 兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行40千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)相遇公式知道相遇時間是：255247。（45+40）=255247。85=3（小時），所以甲走的路程為：453=135（千米），乙走的路程為：403=120（千米）.【答案】甲走的路程為135千米，乙走的路程為120千米【鞏固】 聰聰和明明同時從各自的家相對出發(fā)，明明每分鐘走20米，聰聰騎著腳踏車每分鐘比明明快42米，經(jīng)過20分鐘后兩人相遇，你知道聰聰家和明明家的距離嗎？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 方法一：由題意知聰聰?shù)乃俣仁牵?米/分)，兩家的距離明明走過的路程聰聰走 過的路程(米)，請教師畫圖幫助學生理解分析．注意利用乘法分配律的反向應用就可以得到公式：．對于剛剛學習奧數(shù)的孩子，注意引導他們認識、理解及應用公式．方法二：直接利用公式：(米)．【答案】米【例 2】 大頭兒子的家距離學校3000米，小頭爸爸從家去學校接大頭兒子放學，大頭兒子從學?；丶?，他們同時出發(fā)，小頭爸爸每分鐘比大頭兒子多走24米，50分鐘后兩人相遇，那么大頭兒子的速度是每分鐘走多少米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 大頭兒子和小頭爸爸的速度和：(米/分鐘)，小頭爸爸的速度：(米/分鐘)，大頭兒子的速度：(米/分鐘)．【答案】大頭兒子的速度為米/分鐘【例 3】 、兩地相距米，包子從地到地需要秒，菠蘿從地到地需要秒，現(xiàn)在包子和菠蘿從、兩地同時相對而行，相遇時包子與地的距離是多少米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 包子的速度：(米／秒)，菠蘿的速度：(米／秒)，相遇的時間：(秒)，包子距地的距離：(米)．【答案】包子距地的距離是米【鞏固】 甲、乙兩車分別從相距千米的、兩城同時出發(fā)，相對而行，已知甲車到達城需小時，乙車到達城需小時，問：兩車出發(fā)后多長時間相遇？　【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 要求兩車的相遇時間，則必須知道它們各自的速度，甲車的速度是（千米／時），乙車的速度是（千米／時），則相遇時間是（小時）．【答案】相遇時間是小時【例 4】 甲、乙兩輛汽車分別從、兩地出發(fā)相對而行，甲車先行小時，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，小時相遇，求、兩地間的距離．【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 這題不同的是兩車不“同時”．（法）求、兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和．這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的路程，再把兩部分合起來．（千米），（千米），（千米）．（法）還可以先求出甲、乙兩車小時所行的路程和，再加上甲車小時所行的路程．（千米），（千米）．【答案】千米【鞏固】 甲、乙兩列火車從相距千米的兩地相向而行，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，乙車先出發(fā)小時后，甲車才出發(fā)．甲車行幾小時后與乙車相遇？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 甲、乙兩車出發(fā)時間有先有后，乙車先出發(fā)小時，這段時間甲車沒有行駛，那么乙車這小時所行的路程不是甲、乙兩車同時相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時相對而行的時間．乙車先行駛路程：(千米)，甲、乙兩車同時相對而行路程：(千米)，甲、乙兩車速度和：(千米／時)， 甲車行的時間：(小時)． 【答案】小時【鞏固】 甲、乙兩列火車從相距千米的兩地相向而行，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米，乙車先出發(fā)小時后，甲車才出發(fā)．甲車行幾小時后與乙車相遇？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 甲、乙兩車出發(fā)時間有先有后，乙車先出發(fā)小時，這段時間甲車沒有行駛，那么乙車這小時所行的路程不是甲、乙兩車同時相對而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時相對而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時相對而行的時間．乙車先行駛路程：(千米)，甲、乙兩車同時相對而行路：(千米)，甲、乙兩車速度和：(千米)，與乙車相遇時甲車行的時間為：(小時)．【答案】小時【鞏固】 媽媽從家出發(fā)到學校去接小紅，媽媽每分鐘走米．媽媽走了分鐘后，小紅從學校出發(fā)，小紅每分鐘走米．再經(jīng)過分鐘媽媽和小紅相遇．從小紅家到學校有多少米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 媽媽先走了分鐘，就是先走了（米）．分鐘后媽媽和小紅相遇，也就是說媽媽和小紅共同走了分鐘，這一段的路程為：（米），這樣媽媽先走的那一段路程，加上后來媽媽和小紅走的這一段路程，就是小紅家到學校的距離．即（米）．【答案】米【鞏固】 甲乙兩座城市相距千米，貨車和客車從兩城同時出發(fā)，相向而行．貨車每小時行千米，客車每小時行千米．客車在行駛中因故耽誤小時，然后繼續(xù)向前行駛與貨車相遇．問相遇時客車、貨車各行駛多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因為客車在行駛中耽誤小時，而貨車沒有停止繼續(xù)前行，也就是說，貨車比客車多走小時．如果從總路程中把貨車單獨行駛小時的路程減去，然后根據(jù)余下的就是客車和貨車共同走過的．再求出貨車和客車每小時所走的速度和，就可以求出相遇時間．然后根據(jù)路程＝速度時間，可以分別求出客車和貨車在相遇時各自行駛的路程．相遇時間：（小時）相遇時客車行駛的路程:(千米)相遇時貨車行駛的路程：（千米）．【答案】千米【鞏固】 甲、乙兩列火車從相距千米的兩個城市對面開來，甲列火車每小時行千米，乙列火車每小時行千米，甲列火車先開出小時后，乙列火車才開出，問乙列火車行幾小時后與甲列火車相遇？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 (小時)．【答案】小時【例 5】 甲、乙兩輛汽車分別從、兩地出發(fā)相向而行，甲車先行3小時后乙車從地出發(fā)，乙車出發(fā)小時后兩車還相距千米．甲車每小時行千米，乙車每小時行千米．求、兩地間相距多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 題目中寫的“還”相距千米指的就是最簡單的情況。畫線段圖如下：由圖中可以看出，甲行駛了(小時)，行駛距離為：(千米)；乙行駛了小時，行駛距離為：(千米)，此時兩車還相距千米，所以、兩地間相距： (千米)也可以這樣做：兩車小時一共行駛：(千米)，、兩地間相距： (千米)，所以，、兩地間相距千米．【答案】、兩地間相距千米【鞏固】 甲、乙兩輛汽車從A、B兩地同時相向開出，出發(fā)后2小時，兩車相距141公里；出發(fā)后5小時，兩車相遇。A、B兩地相距______ 公里。 【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】填空 【關鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 52=3小時，兩車合走141千米，速度和=141247。3=47千米/小時，故AB相距475=235千米?！敬鸢浮?、兩地間相距235千米【例 6】 甲、乙二人分別從東、西兩鎮(zhèn)同時出發(fā)相向而行．出發(fā)小時后，兩人相距千米；出發(fā)小時后，兩人還相距千米．問出發(fā)多少小時后兩人相遇？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)小時后相距千米，小時后相距千米，可以求出甲、乙二人小時行的路程和為千米，即可求出兩人的速度和：（千米），根據(jù)相遇問題的解題規(guī)律；相隔距離247。速度和=相遇時間，可以求出行千米需要：（小時）．【答案】小時【例 7】 兩列城鐵從兩城同時相對開出，一列城鐵每小時走千米，另一列城鐵每小時走千米，在途中每列車先后各停車次，每次停車分鐘，經(jīng)過小時兩車相遇，求兩城的距離？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 每列車停車時間：（分）=（小時），兩列車停車時間共小時，共同行駛時間：小時，速度和：（千米），兩城距離：（千米）．【答案】千米【例 8】 南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地s城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時分別往南和往北駛?cè)?，二人的速度分別為50千米/時，60千米/時，那么北轍先生出發(fā)5小時他們相距多少千米?．【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 兩人雖然不是相對而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）5=550（千米）．【答案】550千米【鞏固】 南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地城的方向各執(zhí)一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時分別往南和往北駛?cè)ィ说乃俣确謩e為千米/時，千米/時，那么北轍先生出發(fā)小時他們相距多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 兩人雖然不是相對而行，但是仍合力完成了路程，（千米）．【答案】千米【鞏固】 兩列火車從相距千米的兩城背向而行，甲列車每小時行千米，乙列車每小時行千米，小時后，甲、乙兩車相距多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因為是背向而行，所以每過1小時,兩車就多相距(千米),則小時后兩車相距是：（千米）．【答案】千米【鞏固】 兩列火車從相距千米的兩城背向而行，甲列車每小時行千米，乙列車每小時行千米，小時后，甲、乙兩車相距多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因為是背向而行，所以兩車小時后的距離是：（千米）?！敬鸢浮壳住纠?9】 兩地相距3300米，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)題意列綜合算式得到：（分鐘），所以兩個人還需要5分鐘相遇?！敬鸢浮?分鐘【鞏固】 兩地相距400千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行40千米，乙車每小時比甲車多行5千米，4小時后兩車相遇了嗎？為什么？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 (千米)，(千米)，340千米400千米，因為兩車4小時共行340千米，所以4小時后兩車沒有相遇．【答案】沒有相遇【鞏固】 孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫悟空的速度是200千米／小時．豬八戒的速度是150千米／小時，他們同時出發(fā)2小時后還相距500千米，則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 注意：“還相距”與“相距”的區(qū)別．建議教師畫線段圖．可以先求出2小時孫悟空和豬八戒走的路程： (千米)，又因為還差500米，所以花果山和高老莊之間的距離：(千米)．【答案】千米【鞏固】 兩列貨車從相距450千米的兩個城市相向開出，甲貨車每小時行38千米，乙貨車