【正文】 列不定方程解應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo) 熟練掌握不定方程的解題技巧 能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程 學(xué)會解不定方程的經(jīng)典例題知識精講一、知識點說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一．古希臘的丟番圖早在公元世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程．中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究．宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來．考點說明在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中．在以后初高中數(shù)學(xué)的進一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個工具解題。二、運用不定方程解應(yīng)用題步驟根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程根據(jù)解不定方程方法解方程找到符合條件的解模塊一、不定方程與數(shù)論【例 1】 把拆成兩個正整數(shù)的和，一個是的倍數(shù)（要盡量?。?，一個是的倍數(shù)（要盡量大），求這兩個數(shù)．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題．可設(shè)拆成的兩個數(shù)分別為和，則有：，要讓取最小值，取最大值．可把式子變形為：，可見是整數(shù)，滿足這一條件的最小為7，且當(dāng)時，．則拆成的兩個數(shù)分別是和．【答案】則拆成的兩個數(shù)分別是和．【鞏固】 甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，乙搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，兩人共搬了塊磚．問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)甲搬的是塊，乙搬的是塊．那么．觀察發(fā)現(xiàn)和都是的倍數(shù)，所以也是的倍數(shù)．由于，所以只能為6或12．時，得到；時，此時不是整數(shù)，矛盾．所以甲搬了塊，乙搬了塊，甲比乙搬得多，多塊．【答案】甲比乙搬得多，多塊【鞏固】 現(xiàn)有足夠多的角和角的郵票，用來付元的郵資，問角的郵票需要多少張？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)角和角的郵票分別有張和張，那么就有等量關(guān)系：．嘗試的取值，當(dāng)取時，能取得整數(shù)，當(dāng)再增大，取大于等于的數(shù)時，沒有自然數(shù)解．所以角的郵票需要張．【答案】角的郵票需要張【例 2】 用十進制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為___________________.【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】北大附中，資優(yōu)博雅杯【解析】 若是四位數(shù)，則，矛盾，四位以上的自然數(shù)也不可能。 若是兩位數(shù)，則，也不可能，故只有三位數(shù). ， ，，或，；時，. 所以所有自然數(shù)之和為.【答案】所有滿足條件的自然數(shù)之和為模塊二、不定方程與應(yīng)用題【例 3】 有兩種不同規(guī)格的油桶若干個，大的能裝千克油，小的能裝千克油，千克油恰好裝滿這些油桶．問：大、小油桶各幾個？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)有大油桶個，小油桶個．由題意得：可知，所以．由于、必須為整數(shù)，所以相應(yīng)的將的所有可能值代入方程，可得時，這一組整數(shù)解．所以大油桶有個，小油桶有個．小結(jié)：這道題在解答時，也可聯(lián)系數(shù)論的知識，注意到能被5整除的數(shù)的特點，便可輕松求解.【答案】大油桶有個，小油桶有個【例 4】 在一次活動中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來后見到同學(xué)“小博士”，他們讓“小博士”猜他們各命中多少次．“小博士”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以，讓冬冬把自己命中的次數(shù)乘以，再把兩個得數(shù)加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正確地說出了他們各自命中的次數(shù)．你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)丁丁和冬冬分別命中了次和次，則：．可見除以4的余數(shù)為3，而且不能超過6，所以，．即丁丁命中了次，冬冬命中了次．【答案】丁丁命中了次，冬冬命中了次【鞏固】 某人打靶，發(fā)共打了環(huán)，全部命中在環(huán)、環(huán)和環(huán)上．問：他命中環(huán)、環(huán)和環(huán)各幾發(fā)？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 假設(shè)命中10環(huán)發(fā)，7環(huán)發(fā)，5環(huán)發(fā)，則由⑵可知除以5的余數(shù)為3，所以、9……如果為9，則，所以只能為4，代入原方程組可解得，．所以他命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)．【答案】命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)【例 5】 某次聚餐，每一位男賓付元，每一位女賓付元，每帶一個孩子付元，現(xiàn)在有的成人各帶一個孩子，總共收了元，問：這個活動共有多少人參加(成人和孩子)？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)參加的男賓有人，女賓有人，則由題意得方程：，即，化簡得．這個方程有四組解：，和，但是由于有的成人帶著孩子，所以能被整除，檢驗可知只有后兩組滿足．所以，這個活動共有人或人參加．【答案】這個活動共有人或人參加【鞏固】 單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶一個孩子參加．男職工每人種棵樹，女職工每人種棵樹，每個孩子都種棵樹，他們一共種了棵樹，那么其中有多少名男職工？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 因為有的職工各帶一個孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是的倍數(shù)．設(shè)男職工有人，女職工有人．則職工總?cè)藬?shù)是人，孩子是人．得到方程：，化簡得：．因為男職工與女職工的人數(shù)都是整數(shù)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，．其中只有是的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12名男職工．【答案】其中有12名男職工【例 6】 張師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，李師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，兩人天共縫制上衣和裙褲件，那么其中上衣是多少件？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如果天都縫制上衣，共可縫制件，實際上比這多縫制了件，這就要把上衣?lián)Q成裙褲，張師傅每天可多換件，李師傅每天可多換件，設(shè)張師傅縫制裙褲天，李師傅縫制裙褲天，則：，整數(shù)解只有，．因此共縫制裙褲件，上衣共件．【答案】上衣共件【鞏固】 小花狗和波斯貓是一對好朋友，它們在早晚見面時總要叫上幾聲表示問候．若是早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲．細(xì)心的小娟對它們的叫聲統(tǒng)計了天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面．在這天內(nèi)它們共叫了聲．問：波斯貓至少叫了多少聲？ 【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 早晨見面小花狗和波斯貓共叫聲，晚上見面共叫聲．設(shè)在這15天內(nèi)早晨見面次，晚上見面次．根據(jù)題意有：(，)．可以湊出，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．因為小花狗共叫了 聲，那么越大，小花狗就叫得越多，從而波斯貓叫得越少，所以當(dāng)，時波斯貓叫得最少，共叫了(聲)．【答案】叫了聲【例 7】 甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個配件與一個配件組成．甲每天生產(chǎn)300個配件，或生產(chǎn)150個配件；乙每天生產(chǎn)120個配件，或生產(chǎn)48個配件．為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 假設(shè)甲、乙分別有天和天在生產(chǎn)配件，則他們生產(chǎn)配件所用的時間分別為天和天，那么10天內(nèi)共生產(chǎn)了配件個，共生產(chǎn)了配件個．要將它們配成套，配件與配件的數(shù)量應(yīng)相等，即，得到，則．此時生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為，要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多，就要使得最大，而最大為10，所以最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品．【答案】最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品【鞏固】 某服裝廠有甲、乙兩個生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙車間每天能生產(chǎn)上衣18件或褲子24件．現(xiàn)在要上衣和褲子配套，兩車間合作21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 假設(shè)甲、乙兩個車間用于生產(chǎn)上衣的時間分別為天和天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為天和天，那么總共生產(chǎn)了上衣件，生產(chǎn)了褲子件．根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以，即，即．那么共生產(chǎn)了套衣服．要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得最小，則應(yīng)最大，而最大為21，此時．故最多可以生產(chǎn)出套衣服．【答案】最多可以生產(chǎn)出套衣服【例 8】 有一項工程，甲單獨做需要天完成，乙單獨做需要天完成，丙單獨做需要天完成，現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了 天．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)完成這項工程用了天，其間丙休息了天．根據(jù)題意可知：，化簡得．由上式，因為與都是的倍數(shù)，所以必須是的倍數(shù)，所以是的倍數(shù)，在 的條件下，只有，一組解，即丙休息了天．【答案】丙休息了天【例 9】 實驗小學(xué)的五年級學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動，所有的學(xué)生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)每輛大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為人和人，那么有：．由于知道中巴車的載客人數(shù)，也就是知道了的取值范圍，所以應(yīng)該從入手．顯然被除所得的余數(shù)與被除所得的余數(shù)相等，從個位數(shù)上來考慮，的個位數(shù)字只能為1或6，那么當(dāng)?shù)膫€位數(shù)是或時成立．由于的值在20與25之間，所以滿足條件的，繼而求得，所以大巴車的載客人數(shù)為人．【答案】大巴車的載客人數(shù)為人【鞏固】 實驗小學(xué)的五年級學(xué)生租車去野外開展“走向大自然，熱愛大自然”活動，所有的學(xué)生和老師共人恰好坐滿了輛大巴車和輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在人到人之間，求每輛大巴車的載客人數(shù)．【解析】 設(shè)大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為人和人，那么有：．考慮等式兩邊除以7的余數(shù)，由于被除余，所以被除余，符合條件的有：、所以，繼而求得，所以大巴車的載客人數(shù)為人．【答案】大巴車的載客人數(shù)為人【鞏固】 每輛大汽車能容納54人，每輛小汽車能容納36人．現(xiàn)有378人，要使每個人都上車且每輛車都裝滿，需要大、小汽車各幾輛？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)需要大、小汽車分別為輛、輛，則有：，可化為．可以看出是3的倍數(shù)，又不超過10，所以可以為0、6或9，將、9分別代入可知有四組解：；或；或；或即需大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7輛．【答案】大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7輛【鞏固】 小偉聽說小峰養(yǎng)了一些兔和雞，就問小峰：“你養(yǎng)了幾只兔和雞？”小峰說：“我養(yǎng)的兔比雞多，雞兔共條腿．”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 這是一道雞兔同籠問題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解．設(shè)小峰養(yǎng)了只兔子和只雞，由題意得： 即：，這是一個不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：由題意，且，均不為，所以，也就是兔有只，雞有只．【答案】兔有只，雞有只【例 10】 一個家具店在1998年總共賣了213張床．起初他們每個月賣出25張床，之后每個月賣出16張床，最后他們每個月賣出20張床．問：他們共有多少個月是賣出25張床？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】香港保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽【解析】 設(shè)賣出2120張床的月份分別為、個月，則：由⑴得，代入⑵得．顯然這個方程的正整數(shù)解只有，．所以只有1個月是賣出25張床的．【答案】只有1個月是賣出25張床的【例 11】 五年級一班共有人，每人參加一個興趣小組，共有、五個小組．若參加組的有人，參加組的人數(shù)僅次于組，參加組、組的人數(shù)相同，參加組的人數(shù)最少，只有人．那么，參加組的有_______人．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯，二試【解析】 設(shè)參加組的有人，參加組、組的有人，則，由題知，整理得；由于，若，得，滿足題意；若，則，與矛盾；所以只有，符合條件，故參加組的有人．【答案】參加組的有人【例 12】 將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且僅在一組．已知甲乙丙的平均年齡分為，.甲乙兩組人合起來的平均年齡為；乙丙兩組人合起來的平均年齡為．則這一群人的平均年齡為 .【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】我愛數(shù)學(xué)夏令營【解析】 設(shè)甲乙丙三組分別有人，依提議有：⑴⑵ 由⑴化簡可得，由⑵化簡可得，所以； 因此，這一群人的平均年齡為．【答案】【例 13】 個大、中、小號鋼珠共重克，大號鋼珠每個