【正文】 】千米【鞏固】 兩列火車(chē)從相距千米的兩城背向而行，甲列車(chē)每小時(shí)行千米，乙列車(chē)每小時(shí)行千米，小時(shí)后，甲、乙兩車(chē)相距多少千米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)槭潜诚蚨?，所以每過(guò)1小時(shí),兩車(chē)就多相距(千米),則小時(shí)后兩車(chē)相距是：（千米）．【答案】千米【鞏固】 兩列火車(chē)從相距千米的兩城背向而行，甲列車(chē)每小時(shí)行千米，乙列車(chē)每小時(shí)行千米，小時(shí)后，甲、乙兩車(chē)相距多少千米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)槭潜诚蚨?，所以?xún)绍?chē)小時(shí)后的距離是：（千米）。A、B兩地相距______ 公里。甲、乙兩車(chē)相遇時(shí)，各行了多少千米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)相遇公式知道相遇時(shí)間是：255247。相遇與追及問(wèn)題教學(xué)目標(biāo) 根據(jù)學(xué)習(xí)的“路程和＝速度和 時(shí)間”繼續(xù)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的直線(xiàn)上的相遇與追及問(wèn)題 研究行程中復(fù)雜的相遇與追及問(wèn)題 通過(guò)畫(huà)圖使較復(fù)雜的問(wèn)題具體化、形象化，融合多種方法達(dá)到正確理解題目的目的 培養(yǎng)學(xué)生的解決問(wèn)題的能力 知識(shí)精講一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度相遇時(shí)間+乙的速度相遇時(shí)間＝（甲的速度+乙的速度）相遇時(shí)間＝速度和相遇時(shí)間.一般地，相遇問(wèn)題的關(guān)系式為：速度和相遇時(shí)間=路程和，即二、追及有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，“追及問(wèn)題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同的時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：追及路程＝甲走的路程乙走的路程＝甲的速度追及時(shí)間乙的速度追及時(shí)間＝（甲的速度乙的速度）追及時(shí)間＝速度差追及時(shí)間. 一般地，追擊問(wèn)題有這樣的數(shù)量關(guān)系：追及路程=速度差追及時(shí)間，即例如：假設(shè)甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(diǎn)(0米)處，乙位于中間5米處，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，甲乙的速度分別為和，那么我們可以看到經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，甲比乙多跑了5米，或者可以說(shuō)，在時(shí)間t內(nèi)甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時(shí)間t追了乙5米三、在研究追及和相遇問(wèn)題時(shí)，一般都隱含以下兩種條件：(1)在整個(gè)被研究的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，2個(gè)物體所運(yùn)行的時(shí)間相同(2)在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中，2個(gè)物體所走的是同一路徑。（45+40）=255247。 【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 52=3小時(shí)，兩車(chē)合走141千米，速度和=141247?！敬鸢浮壳住纠?9】 兩地相距3300米，甲、乙二人同時(shí)從兩地相對(duì)而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經(jīng)行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)題意列綜合算式得到：（分鐘），所以?xún)蓚€(gè)人還需要5分鐘相遇。那么甲、乙兩地之間的距離是_______千米。470=20（分鐘），經(jīng)過(guò)20分鐘可開(kāi)炮射擊“敵”艦.【答案】20分鐘【鞏固】 在一條筆直的高速公路上，前面一輛汽車(chē)以千米/小時(shí)的速度行駛，后面一輛汽車(chē)以千米/小時(shí)的速度行駛．后面的汽車(chē)剎車(chē)突然失控，向前沖去(車(chē)速不變)．在它鳴笛示警后秒鐘撞上了前面的汽車(chē)．在這輛車(chē)?guó)Q笛時(shí)兩車(chē)相距多少米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】走美杯【解析】 這是一道“追及問(wèn)題”．根據(jù)追及問(wèn)題的公式，追及時(shí)間路程差時(shí)間差．由題意知，追及時(shí)間為秒鐘，也就是小時(shí)，兩車(chē)相距距離為路程差，速度差為(千米/時(shí))，也就是米/時(shí)，所以路程差為：(米)，所以，在這輛車(chē)?guó)Q笛時(shí)兩車(chē)相距米．【答案】米【例 17】 甲車(chē)每小時(shí)行40千米，乙車(chē)每小時(shí)行60千米。60=2小時(shí)，則兩地相距（40+60）2=200千米．【答案】200千米【鞏固】 甲、乙二人同時(shí)從地去地，甲每分鐘行米，乙每分鐘行米，乙到達(dá)地后立即返回，并與甲相遇，相遇時(shí)，甲還需行分鐘才能到達(dá)地，、兩地相距多少米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 相遇時(shí)甲走了距離減去(米)，乙走了距離加上米，乙比甲多走了米，這個(gè)路程差需要(分鐘)才能達(dá)到，這分鐘兩人一共行走了 米．所以距離為米．【答案】米【例 18】 甲乙兩車(chē)分別從A、B兩地同時(shí)相向開(kāi)出，4小時(shí)后兩車(chē)相遇，然后各自繼續(xù)行駛3小時(shí)，此時(shí)甲車(chē)距B地10千米，乙車(chē)距A地80千米．問(wèn)：甲車(chē)到達(dá)B地時(shí)，乙車(chē)還要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才能到達(dá)A地?【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 由4時(shí)兩車(chē)相遇知，4時(shí)兩車(chē)共行A，B間的一個(gè)單程．相遇后又行3時(shí)，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）應(yīng)是兩車(chē)共行4－3＝1（時(shí)）的路程．所以A，B兩地的距離是（10＋80）247。40－360247。小紅和小強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)? 【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)樾〖t的速度不變，相遇地點(diǎn)不變，所以小紅兩次走的時(shí)間相同，推知小強(qiáng)第二次比第一次少走4分。甲、乙兩地相距多少千米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 24千米。如果甲車(chē)提前一段時(shí)間出發(fā)，那么兩車(chē)將提前30分相遇。甲每小時(shí)行32千米，乙每小時(shí)行48千米。 (2)20247。追及時(shí)間，可以求出李老師和同學(xué)們的速度差，又知道同學(xué)們的速度是每分鐘米，就可以得出李老師的速度．即（米）．【答案】米【例 23】 下午放學(xué)時(shí)，哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校步行回家，哥哥出發(fā)后，經(jīng)過(guò)幾分鐘可以追上弟弟？（假定從學(xué)校到家有足夠遠(yuǎn)，即哥哥追上弟弟時(shí)，仍沒(méi)有回到家）.【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 若經(jīng)過(guò)5分鐘，弟弟已到了A地，此時(shí)弟弟已走了405=200（米）；哥哥每分鐘比弟弟多走20米，幾分鐘可以追上這200米呢？405247。5＝2（小時(shí)），還需要2個(gè)小時(shí)。甲車(chē)如果每小時(shí)行駛60千米，則5小時(shí)可追上前方的乙車(chē)；如果每小時(shí)行駛70千米，則3小時(shí)可追上前方的乙車(chē)。（127）=12（千米/時(shí)）．【答案】12千米/時(shí)【鞏固】 王新從教室去圖書(shū)館還書(shū)，如果每分鐘走70米，能在圖書(shū)館閉館前2分鐘到達(dá)，如果每分鐘走50米，就要超過(guò)閉館時(shí)間2分鐘，求教室到圖書(shū)館的路程有多遠(yuǎn)？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)從教室去圖書(shū)館閉館時(shí)所用時(shí)間是x分鐘（米）答：教室到圖書(shū)館的路程有700米．【答案】700米【例 32】 甲、乙二人分別從山頂和山腳同時(shí)出發(fā)，沿同一山道行進(jìn)?！究键c(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】第六屆，走美杯，決賽【解析】 甲、乙兩人相遇后如果甲繼續(xù)行走（分鐘）后可以返回山頂，如果乙不休息，那么這個(gè)時(shí)候乙應(yīng)該到達(dá)山腳，所以這個(gè)時(shí)候乙還需要分鐘到達(dá)山腳，也就是距離山腳還有（米），所以山頂?shù)缴侥_的距離為（米）。20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。一列慢車(chē)上午9點(diǎn)以45千米／時(shí)的速度由甲城開(kāi)往乙城，另一列快車(chē)上午9點(diǎn)30分以60千米／時(shí)的速度也由甲城開(kāi)往乙城。此時(shí)慢車(chē)距甲城（千米）。提示：甲、乙的速度比為，相遇時(shí)甲走了全程的?！究键c(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 甲車(chē)48千米／時(shí)，乙車(chē)64千米／時(shí)。因?yàn)槔畲鬆敵鲩T(mén)時(shí)楊平已經(jīng)比平時(shí)多走了9（60＋40）＝900（米），所以楊平比平時(shí)早出門(mén)900247。乙隊(duì)出發(fā)時(shí)，他們帶的一只軍犬同時(shí)向甲哨所方向跑去，遇到甲隊(duì)時(shí)立即轉(zhuǎn)身往回跑，遇到乙隊(duì)又立即轉(zhuǎn)身向甲哨所方向跑去……這只軍犬就這樣不停地以20千米／時(shí)的速度在甲、乙兩隊(duì)之間奔跑，直到兩隊(duì)會(huì)合為止。（35+45）=6小時(shí)。諾伊曼先生出了一個(gè)蜜蜂問(wèn)題：兩列火車(chē)相距英里，在同一軌道上相向行駛，速度都是每小時(shí)英里．火車(chē)的前端有一只蜜蜂以每小時(shí)英里的速度飛向火車(chē)，遇到火車(chē)以后．立即回頭以同樣的速度飛向火車(chē)，遇到火車(chē)后，又回頭飛向火車(chē)，速度始終保持不變，如此下去，直到兩列火車(chē)相遇時(shí)才停止．假設(shè)蜜蜂回頭轉(zhuǎn)身的時(shí)間忽略不計(jì)，那么，這只蜜蜂一共飛了多少英里的路？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)閮闪谢疖?chē)相距英里，以每小時(shí)英里的速度相向而行．所以，他們相遇時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間是小時(shí)，而蜜蜂在這段時(shí)間內(nèi)，不停地在兩列火車(chē)之間往返飛行，蜜蜂飛行的全部時(shí)間正好是兩行火車(chē)相遇的時(shí)間，所以，蜜蜂在這小時(shí)內(nèi)，正好飛行了英里．【答案】英里【鞏固】 阿呆和阿瓜同時(shí)從距離千米的兩地相向而行，阿呆每小時(shí)走千米，阿瓜每小時(shí)走千米． 阿瓜帶著一只小狗，狗每小時(shí)走千米．這只狗同阿瓜一道出發(fā)碰到阿呆的時(shí)候，它就掉頭朝阿瓜這邊走，碰到阿瓜時(shí)又朝阿呆那邊走，直到兩人相遇，問(wèn)這只小狗一共走了多少千米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 阿呆和阿瓜兩人相遇時(shí)間為：(小時(shí))，狗共跑路程為：(千米)．【答案】千米【例 51】 甲、乙兩人分別從相距 ，相向而行．甲每小時(shí)行 4 千米，但每行 30 分鐘就休息 5 分鐘；乙每小時(shí)行 12 千米，則經(jīng)過(guò)________小時(shí)________分的時(shí)候兩人相遇．【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 經(jīng)過(guò) 2 小時(shí) 15 分鐘的時(shí)候，甲實(shí)際行了 2 小時(shí)，行了 42=8千米，乙則行了千米，兩人還相距 －27－8=，此時(shí)甲開(kāi)始休息，乙再行 247。（17+15）=1小時(shí)。提示：軍犬的速度為20千米/時(shí)，它跑的時(shí)間等于甲、乙兩隊(duì)從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間。【答案】15分【例 49】 甲、乙兩地之間有一條公路．李明從甲地出發(fā)步行去乙地，同時(shí)張平從乙地出發(fā)騎摩托車(chē)去甲地，80分鐘后兩人在途中相遇．張平到達(dá)甲地后馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經(jīng)過(guò)20分鐘在途中追上李明．張平到達(dá)乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去．問(wèn)：當(dāng)李明到達(dá)乙地時(shí)，張平共追上李明多少次？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 我們希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的時(shí)間，進(jìn)而確定整個(gè)過(guò)程的進(jìn)展，并得到答案．但知道這些并不夠．應(yīng)先分析什么是“追上”．如圖，當(dāng)兩人經(jīng)過(guò)80分鐘相遇時(shí)，兩人所走的路程之和恰是甲乙兩地指間的距離，因此兩人才能相遇．如圖所示：第一次追上就是張平比李明多走了一個(gè)甲、乙兩地距離．這用了分鐘．以此類(lèi)推，第二次相遇的情況從圖上可以看出來(lái)，使張平比李明多走了3個(gè)甲、乙之間距離；第三次相遇，是張平比李明多走了5個(gè)甲乙之間距離……所以，知道了張平的速度是李明的幾倍，也就知道在李明走完一個(gè)甲乙之間距離的時(shí)候，張平走了幾個(gè)甲乙之間距離，他比李明多走了幾個(gè)．這樣就可求出當(dāng)李明到達(dá)乙地時(shí)，張平追上了他幾次．是兩人相遇地點(diǎn)，是張平第一次追上李明的地點(diǎn)．要分析如何求出兩人速度的倍數(shù)關(guān)系．在從相遇到第一次追上這20分鐘內(nèi)，張平從走到再走到，即．也就是，是李明相遇前的路程，即李明80分鐘走的；是李明第一次被追上時(shí)已走的路程，即他分鐘走的．因此，張平20分鐘走的路程，是李明分鐘走的，也就是說(shuō)，張平的速度是李明的9倍．當(dāng)李明從甲到乙時(shí)，張平走了9個(gè)這樣的距離，即比李明多走了8個(gè)從甲到乙的距離．比李明多走1個(gè)時(shí)，張平第一次追上李明；多走3個(gè)時(shí)，第二次追上；多走5個(gè)時(shí)，第三次追上；多走7個(gè)時(shí)，第四次追上．綜上所述，在李明從甲到乙的過(guò)程中，一共被張平追上4次．【答案】追上4次【例 50】 （這道題就是之前介紹過(guò)的蘇步青教授利用巧妙方法解決過(guò)的一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)時(shí)蘇步青教授在德國(guó)訪(fǎng)問(wèn)，一位有名的德國(guó)數(shù)學(xué)家在電車(chē)上給他出了這道題）甲和乙分別從東西兩地同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，兩地相距里，甲每小時(shí)走里，乙每小時(shí)走里．如果甲帶一只狗，和甲同時(shí)出發(fā)，狗以每小時(shí)里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到甲乙兩人相遇時(shí)狗才停?。@只狗共跑了多少里路？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 只從狗本身考慮，光知道速度，無(wú)法確定跑的時(shí)間．但換個(gè)角度，狗在甲乙之間來(lái)回奔跑，狗從開(kāi)始到停止跑的時(shí)間與甲乙二人相遇時(shí)間相同．由此便能求出答案．狗一共跑了（小時(shí)）所以狗跑的距離為（千米）注：有時(shí)我們遇到的應(yīng)用題往往無(wú)法用直接的方法列式解決，甚至看起來(lái)好像條件不足．這個(gè)時(shí)候我們就需要停下來(lái)問(wèn)問(wèn)自己：是否應(yīng)該換個(gè)角度思考？嘗試這樣思考，一方面能讓我們對(duì)一些原本無(wú)法解答的題目豁然開(kāi)朗，更可以讓自己的頭腦在鍛煉中變得越來(lái)越聰明．【答案】千米【鞏固】 某邊防站甲、乙兩哨所相距 15千米?！敬鸢浮考总?chē)48千米／時(shí)，乙車(chē)64千米／時(shí)【例 48】 楊平每天早晨按時(shí)從家出發(fā)步行上學(xué)，李大爺每天早晨也定時(shí)出門(mén)散步，兩人相向而行，楊平步行每分行60米，李大爺步行每分行40米，他們每天都準(zhǔn)時(shí)在途中相遇。因此，甲、乙兩地的距離是(千米)．【答案】千米【鞏固】 蠟筆小新從家出發(fā)去超市找媽媽?zhuān)⌒聥寢審某谢丶遥麄兺瑫r(shí)出發(fā)，小新每分鐘走米，小新媽媽每分鐘走米，他們?cè)陔x中點(diǎn)米的地方相遇了，求小新家到超市的距離是多少米？【考點(diǎn)】行程問(wèn)題