【正文】 不大于的自然數(shù))，則有，化簡得．若為偶數(shù)，則的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字必為，這時．但時，不是整數(shù)，不合題意，所以必為奇數(shù)．為奇數(shù)時，的末位數(shù)字為，從而的末位數(shù)字為，或．但時容易看出，與矛盾．所以，代入得．于是馬小富在甲公司打工個月，在乙公司兼職個月．【答案】在甲公司打工個月，在乙公司兼職個月【例 22】 甲、乙、丙、丁、戊五人接受了滿分為分(成績都是整數(shù))的測驗．已知：甲得了分，乙得了最高分，丙的成績與甲、丁的平均分相等，丁的成績剛好等于五人的平均分，戊比丙多分．求乙、丙、丁、戊的成績．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 法一：方程法． 設(shè)丁的分?jǐn)?shù)為分，乙的分?jǐn)?shù)為分，那么丙的分?jǐn)?shù)為分，戊的分?jǐn)?shù)為分，根據(jù)“丁的成績剛好等于五人的平均分”，有，所以．因為，所以，得到，故，代入得．所以丁得分，丙得分，戊得分，乙得分．法二：推理法．因為丁為五人的平均分，所以丁不是成績最低的；丙的成績與甲、丁的平均分相等，所以丙在甲與丁之間；又因為戊和乙都比丙的成績高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成績是最低的．因為甲是分，所以丁可能是分或分(由丙的成績與甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶數(shù))，經(jīng)檢驗丁得分時與題意不符，所以丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分．【答案】丁得分，則丙得分，戊得分，乙得分【鞏固】 有兩個學(xué)生參加4次數(shù)學(xué)測驗，他們的平均分?jǐn)?shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)．他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分?jǐn)?shù)都提高到了90分．求第5次測驗兩人的得分．(每次測驗滿分為100分)【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)某一學(xué)生前4次的平均分為分，第5次的得分為分，則其5次總分為，于是．顯然，故，解得．由于為整數(shù)，可能為88和89，而且這兩個學(xué)生前4次的平均分不同，所以他們前4次的平均分分別為88分和89分，那么他們第5次的得分分別為：分；分．【答案】第5次的得分分別為：分；分【例 23】 小明、小紅和小軍三人參加一次數(shù)學(xué)競賽，一共有100道題，每個人各解出其中的60道題，有些題三人都解出來了，我們稱之為“容易題”；有些題只有兩人解出來，我們稱之為“中等題”；有些題只有一人解出來，我們稱之為“難題”．已知每個題都至少被他們中的一人解出，則難題比容易題多 道．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 設(shè)容易題、中等題和難題分別有道、道、道，則，由得，即，所以難題比容易題多20道．【答案】難題比容易題多20道【例 24】 甲、乙兩個同學(xué)在一次數(shù)學(xué)擂臺賽中，試卷上有解答題、選擇題、填空題各若干個，而且每個小題的分值都是自然數(shù)．結(jié)果公布后，已知甲做對了5道解答題，7道選擇題，9道填空題，共得52分；乙做對了7道解答題，9道選擇題，11道填空題，共得68分．問：解答題、選擇題、填空題的每道小題各多少分？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)每道解答題為分，每道選擇題為分，每道填空題為分，有，解得．因為、都是自然數(shù)，而且不為0，所以有，或者，．分別代入原方程解得或者．所以解答題、選擇題、填空題的每道小題的分?jǐn)?shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分．【答案】每道小題的分?jǐn)?shù)分別為4分、2分、2分或者3分、4分、1分【例 25】 甲乙丙三人參加一個共有個選擇題的比賽，計分辦法是在分的基礎(chǔ)上，每答對一題加分，答錯一題扣分，不答既不扣分也不加分．賽完后發(fā)現(xiàn)根據(jù)甲所得總分可以準(zhǔn)確算出他答對的題數(shù)，乙、丙二人所得總分相同，僅比甲少分，但乙丙答對的題數(shù)卻互不相同．由此可知，甲所得總分最多為 ．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】我愛數(shù)學(xué)夏令營【解析】 設(shè)乙做對道題，做錯道題；丙做對道，做錯道， 則有．，則有．要使得甲總分最高，由于乙丙僅比甲少1分，則乙丙也應(yīng)盡可能總分最高，從而錯題最少，其他的題全多．若，則，．此時乙得分為分，丙得分為分，甲得分為分．甲扣分，只能，別無其他方式，即只能錯題空題．若，則，．此時乙得分為分，甲得分為分．這種得分不唯一，且得分不是最高，其他情況不可能超過分．綜上所述，甲的總分為分．【答案】甲的總分為分【例 26】 某男孩在年月日說：“我活過的月數(shù)以及我活過的年數(shù)之差，到今天為止正好就是．”請問：他是在哪一天出生的？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)男孩的年齡為個年和個月，即個月，由此有方程式：，也就是，得到，由于而且是整數(shù)，所以，從年月日那天退回年又個月就是他的生日，為年月日．【答案】年月日【例 27】 某次演講比賽，原定一等獎人，二等獎人，現(xiàn)將一等獎中的最后人調(diào)整為二等獎，這樣得二等獎的學(xué)生的平均分提高了分，得一等獎的學(xué)生的平均分提高了分，那么原來一等獎平均分比二等獎平均分多________分．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)原來一等獎的平均分為分，二等獎的平均分為分，得： ，整理得，即， 所以原來一等獎平均分比二等獎平均分多分．【答案】一等獎平均分比二等獎平均分多分【例 28】 某次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備了支鉛筆作為獎品發(fā)給一、二、三等獎的學(xué)生，原計劃一等獎每人發(fā)給支，二等獎每人發(fā)給支，三等獎每人發(fā)給支，后來改為一等獎每人發(fā)支，二等獎每人發(fā)支，三等獎每人發(fā)支．那么獲二等獎的有 人．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 法一：根據(jù)“后來改為一等獎每人發(fā)支”，可以確定獲一等獎的人數(shù)小于．否則僅一等獎就要發(fā)不少于支鉛筆，已超過支，這是不可能的．分別考慮一等獎有人或者人的情況：①獲一等獎有人時，改變后這人共多得支，那么得二等獎和三等獎的共少得了14支鉛筆．由于改變后二等獎多得1支，三等獎少得1支，所以三等獎應(yīng)比二等獎多人，這樣他們少得的鉛筆數(shù)正好是一等獎多得的．但此時三等獎至少14人，他們的鉛筆總數(shù)至少為，所以這種情況不可能發(fā)生．②獲一等獎有1人時，類似前面情況的討論，可以確定獲三等獎的人數(shù)比二等獎多人，所以獲二等獎的有(人)．經(jīng)檢驗，獲一等獎人，獲二等獎人，獲三等獎人符合題目要求，所以有3人獲二等獎．法二：設(shè)獲一、二、三等獎的人數(shù)分別有人、人、人，則有方程組： 由將消元，則有，即，顯然該方程的正整數(shù)解只有，繼而可得到．所以獲二等獎的有3人．【答案】獲二等獎的有3人一、現(xiàn)代文閱讀1．現(xiàn)代文閱讀閱讀下文，回答問題。二、運用不定方程解應(yīng)用題步驟根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程根據(jù)解不定方程方法解方程找到符合條件的解模塊一、不定方程與數(shù)論【例 1】 把拆成兩個正整數(shù)的和，一個是的倍數(shù)（要盡量?。?，一個是的倍數(shù)（要盡量大），求這兩個數(shù)．【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題．可設(shè)拆成的兩個數(shù)分別為和，則有：，要讓取最小值，取最大值．可把式子變形為：，可見是整數(shù)，滿足這一條件的最小為7，且當(dāng)時，．則拆成的兩個數(shù)分別是和．【答案】則拆成的兩個數(shù)分別是和．【鞏固】 甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，乙搬的磚數(shù)是的倍數(shù)，兩人共搬了塊磚．問：甲、乙二人誰搬的磚多？多幾塊？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)甲搬的是塊，乙搬的是塊．那么．觀察發(fā)現(xiàn)和都是的倍數(shù)，所以也是的倍數(shù)．由于，所以只能為6或12．時，得到；時，此時不是整數(shù)，矛盾．所以甲搬了塊，乙搬了塊，甲比乙搬得多，多塊．【答案】甲比乙搬得多，多塊【鞏固】 現(xiàn)有足夠多的角和角的郵票，用來付元的郵資，問角的郵票需要多少張？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)角和角的郵票分別有張和張，那么就有等量關(guān)系：．嘗試的取值，當(dāng)取時，能取得整數(shù)，當(dāng)再增大，取大于等于的數(shù)時，沒有自然數(shù)解．所以角的郵票需要張．【答案】角的郵票需要張【例 2】 用十進制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為___________________.【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】北大附中，資優(yōu)博雅杯【解析】 若是四位數(shù)，則，矛盾，四位以上的自然數(shù)也不可能。 若是兩位數(shù)，則，也不可能，故只有三位數(shù). ， ，或，；時，. 所以所有自然數(shù)之和為.【答案】所有滿足條件的自然數(shù)之和為模塊二、不定方程與應(yīng)用題【例 3】 有兩種不同規(guī)格的油桶若干個，大的能裝千克油，小的能裝千克油，千克油恰好裝滿這些油桶．問：大、小油桶各幾個？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)有大油桶個，小油桶個．由題意得：可知，所以．由于、必須為整數(shù)，所以相應(yīng)的將的所有可能值代入方程，可得時，這一組整數(shù)解．所以大油桶有個，小油桶有個．小結(jié)：這道題在解答時，也可聯(lián)系數(shù)論的知識，注意到能被5整除的數(shù)的特點，便可輕松求解.【答案】大油桶有個，小油桶有個【例 4】 在一次活動中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來后見到同學(xué)“小博士”，他們讓“小博士”猜他們各命中多少次．“小博士”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以，讓冬冬把自己命中的次數(shù)乘以，再把兩個得數(shù)加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正確地說出了他們各自命中的次數(shù)．你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)丁丁和冬冬分別命中了次和次，則：．可見除以4的余數(shù)為3，而且不能超過6，所以，．即丁丁命中了次，冬冬命中了次．【答案】丁丁命中了次，冬冬命中了次【鞏固】 某人打靶，發(fā)共打了環(huán)，全部命中在環(huán)、環(huán)和環(huán)上．問：他命中環(huán)、環(huán)和環(huán)各幾發(fā)？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 假設(shè)命中10環(huán)發(fā)，7環(huán)發(fā)，5環(huán)發(fā)，則由⑵可知除以5的余數(shù)為3，所以、9……如果為9，則，所以只能為4，代入原方程組可解得，．所以他命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)．【答案】命中環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)，環(huán)發(fā)【例 5】 某次聚餐，每一位男賓付元，每一位女賓付元，每帶一個孩子付元，現(xiàn)在有的成人各帶一個孩子，總共收了元，問：這個活動共有多少人參加(成人和孩子)？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 設(shè)參加的男賓有人，女賓有人，則由題意得方程：，即，化簡得．這個方程有四組解：，和，但是由于有的成人帶著孩子，所以能被整除，檢驗可知只有后兩組滿足．所以，這個活動共有人或人參加．【答案】這個活動共有人或人參加【鞏固】 單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有的職工各帶一個孩子參加．男職工每人種棵樹，女職工每人種棵樹，每個孩子都種棵樹，他們一共種了棵樹，那么其中有多少名男職工？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 因為有的職工各帶一個孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是的倍數(shù)．設(shè)男職工有人，女職工有人．則職工總?cè)藬?shù)是人，孩子是人．得到方程：，化簡得：．因為男職工與女職工的人數(shù)都是整數(shù)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，．其中只有是的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12名男職工．【答案】其中有12名男職工【例 6】 張師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，李師傅每天能縫制件上衣，或者件裙褲，兩人天共縫制上衣和裙褲件，那么其中上衣是多少件？【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如果天都縫制上衣，共可縫制件，實際上比這多縫制了件，這就要把上衣?lián)Q成裙褲，張師傅每天可多換件，李師傅每天可多換件，設(shè)張師傅縫制裙褲天，李師傅縫制裙褲天，則：，整數(shù)解只有，．因此共縫制裙褲件，上衣共件．【答案】上衣共件【鞏固】 小花狗和波斯貓是一對好朋友，它們在早晚見面時總要叫上幾聲表示問候．若是早晨見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯貓叫三聲．細(xì)心的小娟對它們的叫聲統(tǒng)計了天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面．在這天內(nèi)它們共叫了聲．問：波斯貓至少叫了多少聲？ 【考點】列不定方程解應(yīng)用題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 早晨見面小花狗和波斯貓共叫聲，晚上見面共叫聲．設(shè)在這15天內(nèi)早晨見面次，晚上見面次．根據(jù)題意有：(，)．可以湊出，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．因為小花狗共叫了 聲，那么越大，小花狗就叫得越多，從而波斯貓叫得越少，所以當(dāng)，時波斯貓叫得最少，共叫了(聲)．【答案】叫了聲【例 7】 甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個配件與一個配件組成．甲每天生產(chǎn)300個配件，或生產(chǎn)150個配件；乙每天生產(chǎn)120個配件，或生產(chǎn)48個配件．為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？