(精品)正余弦定理的教學資料(編輯修改稿)
2025-08-31 10:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 解●教學難點根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖●教學過程Ⅰ.課題導入[復習舊知]復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？[設置情境]請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。Ⅱ.講授新課（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解[例題講解](2)例如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離()啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = ≈ (m)答:A、變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。解略：a km例如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應用正弦定理得 AC = = BC = = 計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。Ⅲ.課堂練習課本第14頁練習第2題Ⅳ.課時小結解斜三角形應用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解Ⅴ.課后作業(yè)課本第22頁第3題●板書設計●授后記課題: 167。第二課時授課類型：新授課●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題過程與方法：本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導——討論——歸納，目的不在于讓學生記住結論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣闊的思考空間情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力●教學重點結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題●教學難點能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件●教學過程Ⅰ.課題導入提問：現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的問題Ⅱ.講授新課[范例講解]例AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長的關鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+ h = + h例如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50。 m,求出山高CD(精確到1 m)師:根據(jù)已知條件,大家能設計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在ABD中求CD，則關鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？生：可首先求出AB邊，再根據(jù)BAD=求得。解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90,BAC= ,BAD =.根據(jù)正弦定理, = 所以 AB ==解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=將測量數(shù)
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