【微積分】有理函數(shù)的不定積分(編輯修改稿)
2024-08-28 16:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 12t a n832t a n832t a n24133 Cxxxx??????????????????解（二） ? dxx4s in1dxxx?? 44t a ns e c.cotcot31 3 Cxx ????)( t a nt a nt a n1 42xdx x? ??解（三） ? dxx4s in1 dxxx )c o t1(c s c 22? ??? ??? )( c o t)c o t1( 2 xdx.cot31cot 3 Cxx ????結(jié)論 比較以上三種解法 , 便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法 , 故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段 , 不得已才用萬(wàn)能置換 . 例 12 求積分 .s i n3s i n s i n1? ?? dxxx x解 2c o s2s i n2s i ns i n BABABA ????? ?? dxxx xs i n3s i n s i n1 ? ?? dxxx xco s2s i n2 s i n1? ?? dxxx x 2coss i n4 s i n1?? dxxx 2co ss i n 141 ?? dxx2cos 141? ?? dxxx xx 222c o ss i nc o ss i n41 ?? dxx2cos141?? ?? dxxdxxx s i n141co ss i n41 2?? dxx2cos 141?? ??? x d xxdx c s c41)( c o sc o s141 2 ?? xdx2s e c41xcos41?xx c o tc s cln41 ??.t an41 Cx ??討論類(lèi)型 ),( n baxxR ? ),( n ecx baxxR ??解決方法 作代換去掉根號(hào) . 例 13 求積分 ? ? dxx xx 11解 令 tx x ??1 ,1 2tx x ???三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 ,112 ?? tx ? ? ,12 22 ??? t td tdx? ? dxx xx 11 ? ? ? ? dtt ttt? ???? 222 121? ??? 12 22tdttdtt? ?????? ???? 1112 2Cttt ??????11ln2.11ln122Cxxxxx???????????????例 14 求積分 .11 1 3? ??? dxxx解 令 16 ?? xt ,6 5 dxdtt ??? ??? dxxx 3 11 1 dtttt 523 61 ??? ?dtt t? ?? 163Ctttt ?????? |1|ln6632 23.)11l n (6131312 663 Cxxxx ??????????說(shuō)明 無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí) , 取根指數(shù)的 最小公倍數(shù) . 例 15 求積分 .1213? ??? dxxxx解 先對(duì)分母進(jìn)行有理化 原式 ? ?????? ???? dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(? ???? dxxx )1213()13(1331 ??? ? xdx )12(1221 ??? ? xdx.)12(31)13(92 2323Cxx ?????1. 可積函數(shù)的特殊類(lèi)型 有理函數(shù) 分解 多項(xiàng)式及部分分式之和 三角函數(shù)有理式 萬(wàn)能代換 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù) 三角代換 根式代換 2. 特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出 , 但不 要注意綜合使用基本積分法 , 簡(jiǎn)便計(jì)算 . 一定簡(jiǎn)便 , 內(nèi)容小結(jié) 如何求下列積分更簡(jiǎn)便 ? 解 : 1. ? ?? 23233)()(d31xax原式 Caxaxa????33333 ln61 Caxaxa???33333 ln612. 原式 ??? xxxxx dc o ss i nc o ss i n322?? xx xc o ssi n d?? xxx dsi nc o s3?? xxta nta nd ?? xx3si nsi nd xta nln? Cx ?? 2s i n121思考與練習(xí) 備用題 1. 求不定積分 解： 令 ,1xt ? 則 , 故 ? 161t
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