第六章定積分及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-08-28 13:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?1[ , ]iixx?1i i ix x x ?? ? ? ( 1 , 2 , , ) ,in? 1[ , ]iixx?i?在每個(gè)小區(qū)間 上任取一點(diǎn) 1( ) ,i i ixx?? ??就有定積分的定義 : 將區(qū)間 [a, b]任意地劃分為 n個(gè)小區(qū)間 。 每個(gè)小區(qū)間 的長(zhǎng)度為 作和式 1()nn i iiS f x?????9 0 1( ) l i m ( )nbiiaif x d x I f x??? ?? ? ???i?()ba f x dx?0?? nS若當(dāng) 時(shí) , 有確定的極限值 I, 且 I 與區(qū)間 [a, b]的 分法和 的取法無(wú)關(guān) , 則稱函數(shù) ?(x)在區(qū)間 [a, b]上可積 , 并稱此極限值 I為 ?(x)在區(qū)間 [a, b]上的定積分 , 記為 稱為積分和 . 1()nn i iiS f x?????間其中 ?(x)為被積函數(shù) , ?(x)d x稱為 被積表達(dá)式 , x 稱為積分 變量 , a稱為積分下限 , b稱為積分上限 , [a, b]稱為積分區(qū) 即 注 ?(x)在區(qū)間 [a, b]上可積 ,則定積分 的字母無(wú)關(guān) , 即 它僅與被積函數(shù) ?(x)和積分區(qū)間 [a, b]有關(guān) , 而與積分變量 ()ba f x d x ?? C 常數(shù) , 10 注 2. 極限過(guò)程 ,既保證了分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增多 ( ), 又保證了區(qū)間分割無(wú)限細(xì)密 (即所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于 0). 0?? n ??因此 , 對(duì)于可積函數(shù) ?(x), 若要用定義來(lái)計(jì)算 0 1l i m ( )niiifx? ?????? 常數(shù)i?( ) ,ba f x d x?i?( ) ( ) ( )b b ba a af x dx f u du f t dt??? ? ?若只有 則不能保證區(qū)間分割無(wú)限細(xì)密 . 注 3. ?(x)在區(qū)間 [a, b]上可積的充要條件是極限 且此極限值與 [a, b]的分法和 的取法無(wú)關(guān) . n ??則可選擇較為方便的區(qū)間分法和 的取法 , 使得計(jì)算簡(jiǎn)便 . 11 三 .函數(shù)可積的條件 由注 3知 , 每個(gè)函數(shù)的可積性與積分和的極限的存在 性等價(jià) , 但求積分和的極限 , 卻非常困難 . 定理 1.
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