第六章定積分及其應(yīng)用(參考版)
2025-08-04 13:20本頁(yè)面
【正文】 由定義 1知 , 當(dāng)連續(xù)函數(shù) 17 ( ) 0,fx ? ()ba f x d x?且 a b時(shí) , 定積分 當(dāng) ?(x)在 [a, b]上有正有負(fù)時(shí) , 定積分 ()ba f x dx?形的面積與 x 軸下方的曲邊梯形 的面積之差 (即面積的代數(shù)和 ). 表示一個(gè)在 x 軸下方的曲邊梯形的 面積的相反數(shù) . 的值就是 x 軸上方的曲邊梯 當(dāng) 18 例 3 利用定積分的幾何意義 , 計(jì)算曲線 y = sinx、直線 表示由曲線 y = sinx 、直線 x=0 、 x=2π 12 0SS? ? ?12S S S??但及 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積 , 即 12S S S?? 2200si n ( si n ) si nx dx x dx x dx? ? ??? ? ? ?? ? ?解 根據(jù)題意 ,所求 曲邊梯形的面積如右圖 . x=0 、 x=2π及 x軸所圍成的曲邊梯形的面積 . 利用定積分的幾何意義知 20 sin xd x??。 每個(gè)小區(qū)間 的長(zhǎng)度為 作和式 1()nn i iiS f x?????9 0 1( ) l i m ( )nbiiaif x d x I f x??? ?? ? ???i?()ba f x dx?0?? nS若當(dāng) 時(shí) , 有確定的極限值 I, 且 I 與區(qū)間 [a, b]的 分法和 的取法無(wú)關(guān) , 則稱函數(shù) ?(x)在區(qū)間 [a, b]上可積 , 并稱此極限值 I為 ?(x)在區(qū)間 [a, b]上的定積分 , 記為 稱為積分和 . 1()nn i iiS f x?????間其中 ?(x)為被積函數(shù) , ?(x)d x稱為 被積表達(dá)式 , x 稱為積分 變量 , a稱為積分下限 , b稱為積分上限 , [a, b]稱為積分區(qū) 即 注 ?(x)在區(qū)間 [a, b]上可積 ,則定積分 的字母無(wú)關(guān) , 即 它僅與被積函數(shù) ?(x)和積分區(qū)間 [a, b]有關(guān) , 而與積分變量 ()ba f x d x ?? C 常數(shù) , 10 注 2. 極限過(guò)程 ,既保證了分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增多 ( ), 又保證了區(qū)間分割無(wú)限細(xì)密 (即所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于 0). 0?? n ??因此 , 對(duì)于可積函數(shù) ?(x), 若要用定義來(lái)計(jì)算 0 1l i m ( )niiifx? ?????? 常數(shù)i?( ) ,ba f x
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