112導(dǎo)數(shù)的幾何意義(編輯修改稿)
2024-08-22 02:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0. 【變式 1 】 求 過(guò)曲線 y ＝1x在點(diǎn)??????2 ，12處的切線方程． 解 因?yàn)? limΔ x → 0 f ? 2 ＋ Δ x ? － f ? 2 ?Δ x＝ limΔ x → 0 12 ＋ Δ x－12Δ x＝ limΔ x → 0 － 12 ? 2 ＋ Δ x ?＝－14. 所以這條曲線在點(diǎn)??????2 ，12處的切線斜率為－14，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為 y －12＝－14( x － 2) ，即 x ＋ 4 y － 4 ＝ 0. 題型二 求過(guò)曲線外一點(diǎn)的切線方程 【例 2 】 求 過(guò)點(diǎn) A ( 2,0) 且與曲線 y ＝1x相切的直線方程． [ 思路探索 ] 點(diǎn) ( 2,0) 不在曲線上，所以此點(diǎn)不是切點(diǎn)，可以先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，建立關(guān)于切點(diǎn)坐標(biāo)的兩個(gè)方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)． 解 易知點(diǎn) ( 2,0) 不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)為 P ( x0， y0) ，由 y ′ | x ＝ x0＝ limΔ x → 0 1x0＋ Δ x－1x0Δ x＝－1x20 得所求直線方程為 y － y0＝－1x20( x － x0) ． 由點(diǎn) ( 2,0) 在直線上，得 x20y0＝ 2 － x0，再由 P ( x0， y0) 在曲線上，得x0y0＝ 1 ，聯(lián)立可解得 x0＝ 1 ， y0＝ 1 ，所求直線方程為 x ＋ y － 2 ＝ 0. 【變式 2 】 試 求過(guò)點(diǎn) P ( 3,5) 且與曲線 y ＝ x2相切的直線方程． 解 由已知得Δ yΔ x＝ 2 x ＋ Δ x ， ∴ limΔ x → 0 Δ yΔ x＝ 2 x ，即 y ′ ＝ 2 x . 設(shè)所求切線的切點(diǎn)為 A ( x0， y0) ， ∵ 點(diǎn) A 在曲線 y ＝ x2上， ∴ y0＝ x20， 又 ∵ A 是切點(diǎn)， ∴ 過(guò)點(diǎn) A 的切線的斜率 y ′ | x ＝ x0＝ 2 x0. ∴ 切線方程： y － x20＝ 2 x0( x － x0) ． 又 ∵ 切線過(guò)點(diǎn) (3,5) ， 即 5 － x20＝ 2 x0(3 － x0) ， ∴ 有 x20－ 6 x0＋ 5 ＝ 0 ， x0＝ 1 或 x0＝ 5 ， ∴ 切點(diǎn)為
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