【文章內(nèi)容簡介】 前提 (2) P (1) (3) PQ 前提 (4) Q (2),(3) (5) (QR) 前提 (6) QR (5) (7) Q (6) (8) (4),(7)(7) 證明或解答：（數(shù)理邏輯、集合論與二元關(guān)系部分）列出下列二元關(guān)系的所有元素：（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={x,y|x,y}。（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={x,y|2x+y4且x且yB}。（3）A={1,2,3}，B={3,2,1,0,1}，R={x,y||x|=|y|且x且yB}。解：(1) R={0,0,0,2,2,0,2,2}(2) R={1,1,1,2,2,1,2,2,3,1}。(3) R={1,1,1,1,2,2,3,3}。對任意集合A,B，證明：若AA=BB，則B=A。證明：若B=，則BB=。從而AA =。故A=。從而B=A。 若B，則BB。從而AA。對, x,xBB。因為AA=BB，則x,xA。從而xA。故BA。同理可證，AB。故B=A。對任意集合A,B，證明：若A，AB=AC，則B=C。證明：若B=，則AB=。從而AC =。因為A，所以C=。即B=C。 若B，則AB。從而AC。對,因為A，所以存在yA, 使y,xB。因為AB=AC，則y,xC。從而xC。故BC。同理可證，CB。故B=C。設(shè)A={a,b}, B={c}。求下列集合：(1) A{0,1}B； (2) B2A；(3) (AB)2。 (4) P(A)A。解：（1） A{0,1}B={a,0,c,a,1,c,b,0,c,b,1,c}。（2） B2A={c,c,a,c,c,b}。（3） (AB)2={a,c,a,c,a,c,b,c,b,c,a,c,b,c,b,c}。（4） P(A)A={,a,b,{a},a,{a},b,,a,,b,A,a,A,b}。設(shè)全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。求下列各集合：（1）AB； （2）；（3）(A)C。 （4）P(A)P(B)。 （5）(AB)(BC)。 （6）(AB)C。 解 ：(1) AB={a}。 (2) ={a,b,c,d,e}。(3) （A）C={b,d}。 (4) P(A)P(B)={nhcuj7d3,{a,d}}。(5) (AB)(BC)={d,c,a}。 (6) (AB) C={b,d}。設(shè)A,B,C是任意集合，證明或否定下列斷言：（1）若AB，且BC，則AC；（2）若AB，且BC，則AC。（3）若AB，且BC，則AC；（4）若AB，且BC，則AC；證明：(1) 成立。對xA, 因為AB，所以xB。又因為BC，所以xC。即AC。(2) 不成立。反例如下：A={a}, B={a,b},C={a,b,c}。雖然AB，且BC，但AC。(3) 不成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。雖然AB，且BC，但AC。(4) 成立。因為AB, 且BC，所以AC。A上的任一良序關(guān)系一定是A上的全序關(guān)系。證明：a，b∈A，則{a,b}是A的一個非空子集。≤是A上的良序關(guān)系，{a,b}有最小元。若最小元為a，則a≤b；否則b≤a。從而≤為A上的的全序關(guān)系。若R和S都是非空集A上的等價關(guān)系，則RS是A上的等價關(guān)系?！∽C明：a∈A，因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以xRx且xSx。故xRSx。從而RS是自反的。a,b∈A，aRSb，即aRb且aSb。因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以bRa且bSa。故bRSa。從而RS是對稱的。a,b,c∈A，aRSb且bRSc，即aRb，aSb,bRc且bSc。因為R和S都是A上的等價關(guān)系，所以aRc且aSc。故aRSc。從而RS是傳遞的。故RS是A上的等價關(guān)系。1設(shè)RAA，則R自反 IAR。證明：xA，R是自反的，xRx。即x,xR，故IAR。xA，IAR，x,xR。即xRx，故R是自反的。1設(shè)A是集合，RAA，則R是對稱的R＝R－1。證明：x,yR ，R是對稱的，yRx。即y,xR，故x,yR_1 。從而RR1。反之y,xR1,即x,yR 。R是對稱的，yRx。即y,xR， R_1R。故R=R1。x，yA，若x,yR ，即y,xR1。 R=R1，y,xR。即yRx，故R是對稱的。1設(shè)A,B,C和D均是集合，RAB，SBC，TCD，則(1)　　R(ST)=(RS)(RT)；(2)　　R(ST)(RS)(RT)；證明：（1）x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。從而x，yR且y，zS或x，yR且y，zT，即x，zRS或x，zRT。故x，z（RS）（RT） 。從而R(ST)（RS）（RT）。同理可證（RS）（RT）R(ST)。故R(ST)=（RS）（RT）。(2) x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。從而x，yR且y，zS且y，zT，即x，zRS且x，zRT。故x，z（RS）（RT） 。從而R(ST)(RS）（RT）。1設(shè)〈A,≤〉為偏序集，BA，若B有最大(小)元、上(下)確界，則它們是惟一的。證明： 設(shè)a,b都是B的最大元，則由最大元的定義ab，ba。是A上的偏序關(guān)系，a=b。即B如果有最大元則它是惟一的。1設(shè)A={1,2,3},寫出下列圖示關(guān)系的關(guān)系矩陣，并討論它們的性質(zhì)： 1 1 12 3 2 3 2 3解：（1）R={2,1,3,1,2,3}。MR=。它是反自反的、反對稱的、傳遞的；（2）R={1,2,2,1,1,3,3,1,2,3,3,2}。MR=。它是反自反的、對稱的；（3）R={1,2,2,1,1,3,3,3}。MR=。它既不是自反的、反自反的、也不是對稱的、反對稱的、傳遞的。1設(shè)A={1,2,…,10}。下列哪個是A的劃分？若是劃分，則它們誘導(dǎo)的等價關(guān)系是什么？（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}。（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}}。（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}}解：（1）和（2）都不是A的劃分。（3）是A的劃分。其誘導(dǎo)的等價關(guān)系是I{1,2,2,1,1,7,7,1,2,7,7,2,3,5,5,3,3,10,10,3,10,5,5,10,4,6,6,4,4,8,8,4,6,8,8,6}。1R是A={1,2,3,4,5,6}上的等價關(guān)系，R=I{1,5,5,1,2,4,4,2,3,6,6,3}求R誘導(dǎo)的劃分。解：R誘導(dǎo)的劃分為{{1,5},{2,4},{3,6}}。1A上的偏序關(guān)系的Hasse圖如下。(11) 下列哪些關(guān)系式成立：ab,ba,ce,ef,df,cf；(12) 分別求出下列集合關(guān)于的極大（?。┰⒆畲螅ㄐ。┰?、上（下）界及上（下）確界（若存在的話）：(a) A。 (b) {b,d}。 (c) {b,e}。 (d) {b,d,e} a e f b d c解：(1) ba,ce,df,cf成立；(2) (a)的極大元為a,e,f,極小元為c。無最大元，c是最小元；無上界，下界是c。無上確界，下確界是c。(b)的極大元為b,d,極小元為b,d。無最大元和最小元； 上界是e，下界是c。上確界是e，下確界是c。(c)的極大元為e,極小元為b。最大元是e，b是最小元；上界是e，下界是b。上確界是e，下確界是b。(d)的極大元為e,極小元為b,d。最大元是e，無最小元；上界是e，下界是c。上確界是e，下確界是c。（半群與群部分）1求循環(huán)群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。解： 因為|C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 個：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。求下列置換的運算：解：（1）=（2）===2試求出8階循環(huán)群的所有生成元和所有子群。解：設(shè)G是8階循環(huán)群，a是它的生成元。則G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要條件是k與8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。因為循環(huán)群的子群也是循環(huán)群，且子群的階數(shù)是G 的階數(shù)的因子，故G的子群只能是1 階的、2階的、4 階的或8階的。因為|e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是該子群中a的最小正冪，故G的所有子群除兩個平凡子群外，還有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。2I上的二元運算*定義為：a,bI，a*b=a+b2。試問I,*是循環(huán)群嗎？解：I,*是循環(huán)群。因為I,*是無限階的循環(huán)群，則它只有兩個生成元。1和3是它的兩個生成元。因為an=na2(n1)，故1n=n2(n1)=2n。從而對任一個kI,k=2(2k)=12k，故1是的生成元。又因為1和3 關(guān)于*互為逆元，故3 也是I,*的生成元。2設(shè)G,是群，aG。令H={xG|ax=xa}。試證：H 是G 的子群。證明： c，dH，則對c，dHK，ca=ac,da=ad。故(cd) a=c(da)=c(ad)=(ca) d=(ac) d=a(cd)。從而cdH。由于ca=ac,且滿足消去律，所以a c1=c1a。故c1H。從而H 是G的子群。2證明：偶數(shù)階群中階為2 的元素的個數(shù)一定是奇數(shù)。證明：設(shè)G,是偶數(shù)階群，則由于群的元素中階為1 的只有一個單位元，階大于2 的元素是偶數(shù)個，剩下的元素中都是階為2 的元素。故偶數(shù)階群中階為2 的元素一定是奇數(shù)個。2證明：有限群中階大于2的元素的個數(shù)一定是偶數(shù)。證明：設(shè)G,是有限群，則aG，有|a|=|a1|。且當(dāng)a 階大于2時，a1。故階數(shù)大于2 的元素成對出現(xiàn)，從而其個數(shù)必為偶數(shù)。2試求N6,+6中每個元素的階。解： 0是N6,+6中關(guān)于+6的單位元。則|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。2設(shè)G,是群，a,bG，ae，且a4b=ba5。試證abba。證明：用反證法證明。 假設(shè)ab=ba。則a4b= a3（ab）= a3(ba)=(a5b)a=(a2(ab))a=（a2（ba））a=((a2b)a)a=(a(ab))(aa)=(a(ba))a2=((ab)a)a2 =((ba)a)a2=(ba2)a2=b(a2a2)=ba4。因為a4b= ba5，所以ba5= b