河南省洛陽(yáng)市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20xx屆高三高考數(shù)學(xué)闖關(guān)密練特訓(xùn)3-3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用試題(編輯修改稿)
2025-08-20 15:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＋DF2，即x2＝(x－BD)2＋1，所以BD＝x－，所以梯形的面積為S＝(BD＋OC)OB＝(2x－)，S′＝(2－)．令S′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．當(dāng)x＞時(shí)，S′＞0；當(dāng)1＜x＜時(shí)，S′＜0.所以當(dāng)x＝時(shí)，S取最小值．即當(dāng)OC＝時(shí)，直角梯形OCDB的面積最小.能力拓展提升、b滿(mǎn)足：|a|＝2|b|，若函數(shù)f(x)＝x3＋|a|x2＋abx在R上有極值，設(shè)向量a、b的夾角為θ，則cosθ的取值范圍為( )A. B.C. D.[答案] D[解析] ∵函數(shù)f(x)在R上有極值，∴f ′(x)＝x2＋|a|x＋ab＝0有兩不等實(shí)根，∴Δ＝|a|2－4|a||b|cosθ＝4|b|2－8|b|2cosθ0，∴cosθ，∴選D.[點(diǎn)評(píng)] 若f(x)為三次函數(shù)，f(x)在R上有極值，則f ′(x)＝0應(yīng)有二不等實(shí)根，當(dāng)f(x)有兩相等實(shí)根時(shí)，不能保證f(x)有極值，這一點(diǎn)要特別注意，如f(x)＝x3，f ′(x)＝x2＝0有實(shí)根x＝0，但f(x)在R上單調(diào)增，無(wú)極值．即導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)有極值的必要不充分條件．12．如圖，過(guò)函數(shù)y＝xsinx＋cosx圖象上點(diǎn)(x，y)的切線(xiàn)的斜率為k，若k＝g(x)，則函數(shù)k＝g(x)的圖象大致為( )[答案] A[解析] ∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴k＝g(x)＝xcosx，易知其圖象為A.13．函數(shù)f(x)＝2x3＋x2－x＋1的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè)．[答案] 1[解析] f ′(x)＝6x2＋x－1＝(3x－1)(2x＋1)，當(dāng)x－時(shí)，f ′(x)0，當(dāng)－x時(shí)，f ′(x)0，當(dāng)x時(shí)，f ′(x)0，∴f(x)在(－∞，－)上單調(diào)遞增，在(－，)上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝－時(shí)，f(x)取到極大值，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取到極小值，故f(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．14．將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線(xiàn)剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝，則s的最小值是________．[答案] [解析] 設(shè)DE＝x，則梯形的周長(zhǎng)為：3－x，梯形的面積為：(x＋1)(1－x)＝(1－x2)，∴s＝＝，x∈(0,1)，設(shè)h(x)＝，h′(x)＝.令h′(x)＝0，得：x＝或x＝3(舍)，∴h(x)最小值＝h＝8，∴s最小值＝8＝.15．(文)甲乙兩地相距400km，汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)100km/h，已知該汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本P(元)關(guān)于速度v(km/h)的函數(shù)關(guān)系是P＝v4－v3＋15v.(1)求全程運(yùn)輸成本Q(元)關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；(2)為使全程運(yùn)輸成本最少，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？并求此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值．[解析] (1)汽車(chē)從甲地到乙地需用h，故全程運(yùn)輸成本為Q＝＝－＋6000 (0v≤100)．(2)Q′＝－5v，令Q′＝0得，v＝80，∴當(dāng)v＝80km/h時(shí)，全程運(yùn)輸成本取得最小值，最小值為元．(理)(2011江蘇)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線(xiàn)折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．[解析] 設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)，由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0x30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值．此時(shí)＝.即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為.16．(文)用一塊鋼錠澆鑄一個(gè)厚度均勻，且全面積為2m2的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)．設(shè)容器的高為hm，蓋子邊長(zhǎng)為am.(1)求a關(guān)于h的函數(shù)解析式；(2)設(shè)容器的容積為Vm3，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值．(容器的厚度忽略不計(jì))[解析] (
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