【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在兩組基底 和 下對(duì)應(yīng)的矩陣分別為 A和 B，兩個(gè)基底之間的過(guò)度矩陣為 P，即： },{ 21 n??? ? 于是 },{ 21 n??? ?ATTT nn ],[],[ 2121 ?????? ?? ?BTTT nn ],[],[ 2121 ?????? ?? ?Pnn ],[],[ 2121 ?????? ?? ?PTTTTTT nn ],[],[ 2121 ?????? ?? ?APn ],[ 21 ??? ??APPn 121 ],[ ?? ??? ?即得 APPB 1??? 結(jié)論：相似矩陣表示相同的線性變換 矩陣的運(yùn)算 ? 零矩陣（對(duì)應(yīng)零變換） ? 矩陣加法（對(duì)應(yīng)線性變換的加法） ? 負(fù)矩陣（對(duì)應(yīng)負(fù)線性變換） ? 數(shù)乘（對(duì)應(yīng)線性變換的數(shù)乘） ? 定理：所有 n m階矩陣的集合在以上加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成線性空間。 ? 單位陣（對(duì)應(yīng)單位變換） ? 矩陣的乘法（對(duì)應(yīng)變換的乘法） ? 逆矩陣（對(duì)應(yīng)逆變換） ? 定理：所有 n階方陣的集合在以上加法和乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)環(huán)，且是非交換環(huán) (環(huán)比數(shù)域條件弱 )。 定義 設(shè) T是數(shù)域 F上的線性空間 V的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域 F中的某個(gè)元素 λ0，存在一個(gè)非零向量 ξ，使得 那么稱 λ0為 T的一個(gè) 特征值 ，而 ξ稱為 T 屬于特征值 λ0的一個(gè) 特征向量 。 取定 V的一組基底 ，設(shè) T在這組基下的矩陣是 A，向量 ξ在這組基下的坐標(biāo)是 ，那么我們有 線性變換的特征值與特征向量 ??? 0?T},{ 21 n??? ?TnxxxX ],[ 21 ??XAXT nn ),(),( 21021 ???????? ?? ??即得 XAXT 00 ???? ???求解特征值與特征向量 ? 選定線性空間的一個(gè)基底，求線性變換 T在此基底下對(duì)應(yīng)的矩陣 A； ? 求解矩陣 A的特征多項(xiàng)式 的所有根； ? 求出矩陣 A的每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量； ? 以 A的特征向量為坐標(biāo)求出對(duì)應(yīng)的特征向量。 )de t ()( AI ?? ???例 1 設(shè) V是數(shù)域 F上的 3維 線性空間， T是 V上的一個(gè)線性變換， T在 V的一個(gè)基 下的矩陣是 求 T的全部特征值與特征向量。 解 ：求 T的特征值等價(jià)于求對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。 1 2 3,? ? ?2 2 22 1 42 4 1A?????? ? ???????? 所以 A的特征值是 3 (二重 )與 6。 對(duì)于特征值 3，解齊次線性方程組 得到一個(gè)基礎(chǔ)解系： 22 2 22 1 42 4 1( 3 ) ( 6)IA????????? ? ? ?? ? ?? ? ?( 3 ) 0I A X??? ? ? ?2 1 0 , 2 0 1TT?從而 T的屬于 3 的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是 于是 T屬于 3的全部特征向量是 這里 k1k2≠0 。 對(duì)于特征值 6，解齊次線性方程組 得到一個(gè)基礎(chǔ)解系： 1 1 2 2 1 32 , 2? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 2 2 1 2,k k k k K????( 6 ) 0I A X? ? ?? ?1 2 2 T?從而 T 的屬于 6 的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是 于是 T 的屬于 6 的全部特征向量 這里 k 為數(shù)域 F 中任意非零數(shù)。 3 1 2 322? ? ? ?? ? ?3 ,k k K? ?特征值與特征向量的相關(guān)性質(zhì) ? 特征子空間：線性變換 T屬于特征值 λ0的特征向量生成的子空間，記為 ，其中的非零向量為特征向量。 ? 屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。 ? Tr(AB)=Tr(BA)（方陣的對(duì)角線之和稱為矩陣的跡）。 ? 相似矩陣具有相同的跡、行列式和秩。 ? 相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和特征值。 ? 矩陣 A是其特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即設(shè) ， 則 0V?)de t ()( AI ?? ???oIcAcAcAA nnnn ?????? ?? 111)( ??矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形 ? n階矩陣 A可以對(duì)角化的充分必要條件是 A有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量； ? 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都為實(shí)數(shù)，且與對(duì)角矩陣相似； ? 任何復(fù)矩陣與一 Jordan矩陣相似； ?????????????nnn PPPPPPA??????212121 ],[],[??????????????sJJJAPP?211?????????????kkkkJ???11??矩陣可對(duì)角化的判定 ? 推論：矩陣 A可以對(duì)角化的充分必要條件是 A的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)。 ? 注：特征值的代數(shù)重?cái)?shù)是指該特征值作為特征多項(xiàng)式的根的重?cái)?shù)。 幾何重?cái)?shù)是指特征子空間的維數(shù)。即對(duì)每個(gè)特征值 λ k,對(duì)應(yīng)的特征子空間為 ? 的解空間，其維數(shù)稱為幾何維數(shù)。 0?? XAIk )( ?例 1 判斷矩陣 是否可以對(duì)角化？ 解 ： 先求出 A的特征值 3 1 12 0 11 1 2A?????????????23 1 1211 1 2( 1 ) ( 2 )IA????????? ? ? ???? ? ?于是 A的特征值為 λ1=1， λ2 =2（代數(shù)重?cái)?shù) =2）。 由于 λ1=1是單的特征值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。下面我們考慮 λ2 =2 于是 即特征子空間的維數(shù)為 1，從而 不可以相似對(duì)角化 。 21 1 1 1 1 12 2 1 0 0 11 1 0 0 0 0IA?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?2 2 2( ) 2 , ( ) 1R I A q n R I A??? ? ? ? ? ?定義： 已知 和關(guān)于變量 x 的多項(xiàng)式 那么我們稱 為 A 的 矩陣多項(xiàng)式 。 設(shè) A 為一個(gè) n 階矩陣， J 為其 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，則 于是有 11 1 0() nnnnf x a x a x a x a??? ? ? ? ?11 1 0() nnnnf A a A a A a A a I??? ? ? ? ?nnAC??矩陣的多項(xiàng)式表示與矩陣的最小多項(xiàng)式 111211 1 2 2d i ag ( , , , )d i ag ( ( ), ( ), , ( ))rrrA P JP P J J J PP J J J P? ? ???????11 1 0() nnnnf A a A a A a A a I??? ? ? ? ?IaP J PaP J PaP J Pa nnnn 01111 )()()( ????? ??? ?10111 )( ??? ????? PIaJaJaJaP nnnn ?1)( ?? PJPf121 ))(,),(),(( ?? PJfJfJfP d i a g r?我們稱上面的表達(dá)式為 矩陣 多項(xiàng)式 f(J)的 Jordan表示。其中 1( ) ( 1 , 2 , , )1iiiiiii ddJ i r???????????????111111()iiiid k dkki k i k ikk iii kkiki ddccJc? ? ?????? ? ???????????????( 1)39。39。1( ) ( ) ( )( 1 ) !()()()()iiidi i iiiiii ddf f fdffJff? ? ????????????????例 已知多項(xiàng)式 與矩陣 43( ) 2 1f x x x x? ? ? ?3 0 83 1 62 0 5A????????????求 f(A)。 解： 首先求出矩陣 A 的 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形 J 及其相似變換矩陣P 1 0 00 1 10 0 1J????????????0 4 11 3 00 2 0P????????????1301210021 0 2P ?????? ? ????????那么有 139。39。39。39。39。39。39。( ) ( )30120 4 1 ( 1 ) 0 011 3 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 0 020 2 0 0 0 ( 1 )1 0 2( 1 ) 4 ( 1 ) 0 8 ( 1 )3 ( 1 ) ( 1 ) 6 ( 1 )2 ( 1 ) 0 ( 1 ) 4 ( 1 )f A P f J Pfffff f ff f ff f f?????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ???????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ???3 5 0 7 22 7 1 5 41 8 0 3 7??????? ? ?????定義： 已知 和關(guān)于變量 x 的多項(xiàng)式 如果 f(x) 滿足 ，那么稱該多項(xiàng)式為矩陣 A 的一個(gè) 零化多項(xiàng)式 。 11 1 0() nnnnf x a x a x a x a??? ? ? ? ?nnAC ??() nnf A O ??定理： 已知 ， 為其特征多項(xiàng)式 , 則有 我們稱此定理為 HamiltonCayley定理 。 nnAC?? ()f ?() nnf A O ??定義： 已知 ，在 A 的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為 1的零化多項(xiàng)式稱為 A 的 最小多項(xiàng)式 ，通常記為 最小多項(xiàng)式的性質(zhì)： 已知 ，那么 （ 1）矩陣 A 的最小多項(xiàng)式是唯一的。 （ 2）矩陣的任何一個(gè)零化多項(xiàng)式均能被 整除。 （ 3）相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式。 ()m ?nnAC ??nnAC??()m?如何求一個(gè)矩陣的最小多項(xiàng)式 ?首先我們考慮 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項(xiàng)式。 例 1 ： 已知一個(gè) Jordan塊 11iiiiii ddJ?????????????????求其最小多項(xiàng)式。 解： 注意到其特征多項(xiàng)式為 , 則由上面的定理可知其最小多項(xiàng)式 一定具有如下形狀，其中 。但是當(dāng) 時(shí) ( ) ( ) idif ? ? ???()m ?( ) ( ) kim ? ? ??? 1 ikd??