度量空間和線性賦范空間(編輯修改稿)
2025-07-21 03:24 本頁面
【文章內容簡介】 設=，及=分別是中的點列及點，則 依坐標收斂于. 實因，若對每個有，則因收斂，所以，. . 因為對每個，存在，. 令，當時，成立. 所以當時，成立=++=.所以 反之，若，即=.又因為，有，所以當時，0所以 ，. 當時，成立 . 所以. 所以，有. 4. 可測函數(shù)空間 設，則因=，有 . 實因，若，則，有 . (不妨設)，取，則. 今對這樣取定的及，因，故，. 當時，成立. 所以 =+++=. 所以. 所以. 反之，若，即. 對，由于. 所以，即. 以上各種極限概念不完全一致(依坐標收斂，一致收斂，依測度收斂)，引進距離概念之后，都可以統(tǒng)一在度量空間的極限概念之中. 作業(yè) 205. 5. 作業(yè)提示 均勻收斂即一致收斂. 證明大意如同“序列空間”，并利用 =.第3次課 教學內容(或課題)： 167。(2) 度量空間中的稠密集 可分空間 目的要求： 掌握度量空間中的稠密集和可分空間的概念，能正確使用這兩個概念. 教學過程： Th 設是度量空間的一個子集，則集合 是個開集，且. 證明 設，則，. . 所以. ，其中，則()+=. 所以. 所以是之內點. 所以是開集. 又證 以中每一點為心作半徑的鄰域，所有這些鄰域的并集就是集合. 每個鄰域都是開集，任意個開集之并仍為開集，故為開集. 至于是很顯然的. 證畢. 附注 當時，得到是之閉包未必是. 例如=. ==，但. . 設，證明度量空間中的集為中的閉集，而集為開集 為閉集. 證明 ，對，有=0. 令，得時，. 所以. 所以是閉集. “” 設為閉集，則 (當). 因在連續(xù)，所以(當). ?。?，則對，有 . 所以+. 所以當++()=所以. 所以為開集. “” 設為開集. 設，且. 取點：=，則，令得，.因為，故只有. 不妨設=(=時同法可證之). 因為為開集，所以，. =. ，因為，所以點+. 因為=，所以對上述且，存在，.， 所以. 所以+=.但由方框，應有，與+=相互矛盾. 這就證明了. 故為閉集. 證畢. Def 1 設是度量空間，和是的兩個子集，令表示的閉包，若，則稱集在集中稠密，當=時，稱為的一個稠密子集. 若有一個可列的稠密子
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