度量空間和線性賦范空間(編輯修改稿)
2025-07-21 03:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 設(shè)=，及=分別是中的點(diǎn)列及點(diǎn)，則 依坐標(biāo)收斂于. 實(shí)因，若對(duì)每個(gè)有，則因收斂，所以，. . 因?yàn)閷?duì)每個(gè)，存在，. 令，當(dāng)時(shí)，成立. 所以當(dāng)時(shí)，成立=++=.所以 反之，若，即=.又因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，0所以 ，. 當(dāng)時(shí)，成立 . 所以. 所以，有. 4. 可測(cè)函數(shù)空間 設(shè)，則因=，有 . 實(shí)因，若，則，有 . (不妨設(shè))，取，則. 今對(duì)這樣取定的及，因，故，. 當(dāng)時(shí)，成立. 所以 =+++=. 所以. 所以. 反之，若，即. 對(duì)，由于. 所以，即. 以上各種極限概念不完全一致(依坐標(biāo)收斂，一致收斂，依測(cè)度收斂)，引進(jìn)距離概念之后，都可以統(tǒng)一在度量空間的極限概念之中. 作業(yè) 205. 5. 作業(yè)提示 均勻收斂即一致收斂. 證明大意如同“序列空間”，并利用 =.第3次課 教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 167。(2) 度量空間中的稠密集 可分空間 目的要求： 掌握度量空間中的稠密集和可分空間的概念，能正確使用這兩個(gè)概念. 教學(xué)過(guò)程： Th 設(shè)是度量空間的一個(gè)子集，則集合 是個(gè)開(kāi)集，且. 證明 設(shè)，則，. . 所以. ，其中，則()+=. 所以. 所以是之內(nèi)點(diǎn). 所以是開(kāi)集. 又證 以中每一點(diǎn)為心作半徑的鄰域，所有這些鄰域的并集就是集合. 每個(gè)鄰域都是開(kāi)集，任意個(gè)開(kāi)集之并仍為開(kāi)集，故為開(kāi)集. 至于是很顯然的. 證畢. 附注 當(dāng)時(shí)，得到是之閉包未必是. 例如=. ==，但. . 設(shè)，證明度量空間中的集為中的閉集，而集為開(kāi)集 為閉集. 證明 ，對(duì)，有=0. 令，得時(shí)，. 所以. 所以是閉集. “” 設(shè)為閉集，則 (當(dāng)). 因在連續(xù)，所以(當(dāng)). 取：0，則對(duì)，有 . 所以+. 所以當(dāng)++()=所以. 所以為開(kāi)集. “” 設(shè)為開(kāi)集. 設(shè)，且. 取點(diǎn)：=，則，令得，.因?yàn)?，故只? 不妨設(shè)=(=時(shí)同法可證之). 因?yàn)闉殚_(kāi)集，所以，. =. ，因?yàn)?，所以點(diǎn)+. 因?yàn)?，所以對(duì)上述且，存在，.， 所以. 所以+=.但由方框，應(yīng)有，與+=相互矛盾. 這就證明了. 故為閉集. 證畢. Def 1 設(shè)是度量空間，和是的兩個(gè)子集，令表示的閉包，若，則稱集在集中稠密，當(dāng)=時(shí)，稱為的一個(gè)稠密子集. 若有一個(gè)可列的稠密子
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