空間向量與空間角練習(xí)試題(編輯修改稿)
2025-04-21 06:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 以平面AEF與平面ABC所成的二面角的平面角α滿足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.【答案】 三、解答題8. 如圖3173。2173。30所示，在四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.圖3173。2173。30(1)求證：AO⊥平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值．【解】 (1)證明：連結(jié)OC，由題意知BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90176。，即AO⊥OC.∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，E，∴＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，∴cos〈，〉＝＝.∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為.9．四棱錐P173。ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．(1)求證：平面AEC⊥平面PDB；(2)當(dāng)PD＝AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大?。窘狻咳鐖D，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)AB＝a，PD＝h，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)∵＝(－a，a,0)，＝(0,0，h)，＝(a，a,0)，∴＝0，＝0，∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，∴AC⊥平面PDB，又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.(2)當(dāng)PD＝AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，P(0,0，a)，E，設(shè)AC∩BD＝O，O，連結(jié)OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO為AE與平
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