循環(huán)矩陣的探討(編輯修改稿)
2025-08-20 01:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 逆循環(huán)矩陣, 則A的逆矩陣A1是循環(huán)矩陣.證明：根據(jù)性質(zhì)4，兩個循環(huán)矩陣A, B的乘積是循環(huán)矩陣, 因而只要找到循環(huán)矩陣B, 使得AB=En, 問題即可解決.設(shè) (,…,為待定常數(shù)), 則,其中, s=0,1,…,2n1. 要使得AB=E, 其必要條件是使得下列方程組成立：,方程組可以改寫為,顯然，上述方程組的系數(shù)矩陣為循環(huán)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣, 是可逆的, 因而根據(jù)Cramer法則，該方程組存在唯一的一組解(, …,), 從而B是唯一確定的, 即是A的逆矩陣, 因此A的逆矩陣是循環(huán)矩陣.推論1 設(shè)A為n階可逆循環(huán)矩陣, 則循環(huán)矩陣A 的伴隨矩陣A也是循環(huán)的.性質(zhì)8 設(shè)A是一個n級可逆循環(huán)矩陣, 則A的MoorePenrose逆+也為循環(huán)矩陣. 性質(zhì)9 設(shè)A, B是兩個n階循環(huán)矩陣, 則A與B的Hadamard積A196。B是循環(huán)矩陣. 即是, 設(shè)A= circ(a0,a1,…,an1), B= circ(b0,b1,…,bn1), 則A196。B= circ(a0b0,a1b1,…,an1bn1)是循環(huán)矩陣.性質(zhì)10 設(shè)A, B是兩個n階循環(huán)矩陣, 則A與B的Fan積A★B是循環(huán)矩陣. 證明 設(shè)A=, B=, 則A★B= =circ(a0b0,a1b1,…, an1bn1)是循環(huán)矩陣.定義2 設(shè)A是數(shù)域P上的n階循環(huán)矩陣,則稱關(guān)于l的多項(xiàng)式|λEA|為A的特征多項(xiàng)式, 其在復(fù)數(shù)域C上的根為循環(huán)矩陣A的特征值.若λ是n階循環(huán)矩陣A的特征值, 那么齊次線性方程組(λEA)X=0的非零解則稱為循環(huán)矩陣A 的屬于特征值λ的特征向量.設(shè)?是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換, 如果對于數(shù)域P中的一數(shù)λ0，存在一個非零向量ξ, 使得?ξ=λ0ξ, 那么λ0成為?的一個特征值, 而ξ稱為?的屬于特征值λ0的一個特征向量.性質(zhì)11 設(shè)λ是循環(huán)矩陣A的特征值, 且循環(huán)矩陣A是可逆的, 則λ1是A1的特征值.證明 設(shè)λ1,λ2,…,λn為循環(huán)矩陣A的特征值, 則|A|=λ1λ2…λn≠0, 所以λi≠0(i=1, 2, …, n). 設(shè)屬于循環(huán)矩陣A的特征值的特征向量為ξ, 則Aξ=ξ, 那么, 則ξ=ξ, 因?yàn)檠h(huán)矩陣A的特征值最多只有n個, 所以是的特征值.性質(zhì)12 若λ是n階循環(huán)
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