酉矩陣與hermite矩陣性質(zhì)總結(jié)(編輯修改稿)
2025-07-22 04:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 酉矩陣, 則等也都是酉矩陣.(3) 酉矩陣, 且是反矩陣, 則也是酉矩陣.通過(guò)這些運(yùn)算性質(zhì)可以構(gòu)造出新的酉矩陣. 利用施密特正交化構(gòu)造酉矩陣矩陣的正規(guī)性是檢驗(yàn)矩陣是否可對(duì)角化的一個(gè)簡(jiǎn)單方法，任意正規(guī)矩陣都可在經(jīng)過(guò)一個(gè)酉變換后變?yōu)閷?duì)角矩陣，反過(guò)來(lái)，所有可在經(jīng)過(guò)一個(gè)酉變換后變?yōu)閷?duì)角矩陣都是正規(guī)矩陣. 在高等代數(shù)中，我們知道實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣一定正交相似于對(duì)角矩陣，并且討論過(guò)，對(duì)已知實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 求正交矩陣使得為對(duì)角矩陣的一般歩驟，類(lèi)似的我們可以討論，當(dāng)是正規(guī)矩陣時(shí)，求酉矩陣，使得為對(duì)角矩陣，具體步驟如下：(1) 根；(2) 求每一個(gè)相異特征值的特征向量； (3) chur正交單位化的方法，求的標(biāo)準(zhǔn)正交基； (4) 命則酉矩陣滿(mǎn)足 若是正規(guī)矩陣，則能酉相似于對(duì)角矩陣，即存在酉矩陣使得則于是 而對(duì)角矩陣的次冪是由各對(duì)角元素的次冪組成，所以通過(guò)的相似對(duì)角矩陣求.第二章 Hermite矩陣為了論述方便，我們給出以下幾個(gè)定義：1．定義 矩陣A=[]∈Mn(C)稱(chēng)為Hermite矩陣，是指A=A*，其中A*==[]。如果A=A*，則稱(chēng)之為斜Hermite矩陣。2．定義 設(shè)A是n階Hermite矩陣，如果任意x∈，且x≠0，都有x*Ax0，則稱(chēng)A為正定矩陣，記作A0；如果任意x∈，都有x*Ax≥0，則稱(chēng)A為非負(fù)定(半正定)矩陣，記作A≥0．3．定義 設(shè)A，B都是n階Hermite矩陣，如果A—B≥O，則稱(chēng)A大于或等于B(或稱(chēng)B小于或等于A)，記作A≥B(B≤A)；如果A—B0則稱(chēng)A大于B(或B小于A)，記作AB(BA)。第一節(jié) 關(guān)于Hermite矩陣的性質(zhì)定理(1)對(duì)所有A∈Mn，A+A*，AA*和A*A都是Hermite矩陣．(2)如果A是Hermite矩陣，則對(duì)正整數(shù)k，也是Hermite矩陣．(3)如果A是可逆Hermite矩陣，則也是Hermite矩陣．(4)如果A，B是Hermite矩陣，則對(duì)實(shí)數(shù)k，p，kA+pB也是Hermite矩陣(5)對(duì)所有A∈Mn，A—A*是斜Hermite矩陣．(A—A*)=A*A=(A—A*)(6)如果A，B是斜Hermite矩陣，那么對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，aA+bB是斜Hermite矩陣．(7)如果A是Hermite矩陣，那么iA是斜Hermite矩陣，反之，A是斜Hermite矩陣，則iA是Hermite矩陣．(8)任意A∈Mn可寫(xiě)成A=1/2(A+A*)+ 1/2(A—A*)=H(A)+S(A)，其中H(A)=1/2(A+A*)是A的Hermite部分，而S(A)=1/2(A—A*)是A的斜Hermite部分。(由(1)和(5)知)(9)如果A是Hermite矩陣，那么A的主對(duì)角元素是實(shí)數(shù)，為了給定A的個(gè)元素，我們可以自由地給定任意n個(gè)實(shí)數(shù)(對(duì)于主對(duì)角元)和任意1/2(n一1)n個(gè)復(fù)數(shù)(對(duì)于非對(duì)角元)。(由定義可知的共軛等于故 (i=1，2，3，…，n)為實(shí)數(shù))。1．2定理 每個(gè)A∈Mn可以唯一地寫(xiě)成A=S+iT，其中S和T都是H矩陣，它也是唯一寫(xiě)成A=B+C，其中B是H矩陣，而C是斜H矩陣．證明：把A寫(xiě)成A=1/2(A+A*)+i[i/2(A—A*)]，并且S=1/2(A+A*)和T=i/2(A—A*)都是H矩陣。關(guān)于唯一性論斷，如果A=E+iF，其中E和F都是H矩陣，那么2S=A+A*=(E+iF)+(E+iF)*=E+iF—E—iF=2E。因而E=S，類(lèi)似證明F=T，關(guān)于表示式A=B+C的論斷同樣方式可證。注：這個(gè)定理充分說(shuō)明了Hermite矩陣在矩陣中的地位相當(dāng)于實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)中的地位。第二節(jié) Hermite矩陣的判定定理2．1定理 設(shè)A=[]∈Mmn(C)，則A是Hermite矩陣的充分必要條件是對(duì)任意x∈，x*Ax是實(shí)數(shù)。證明：必要性，如果A是Hermite矩陣，則對(duì)任意x∈，因?yàn)閤*Ax是實(shí)數(shù)，所以x*Ax=(x*Ax)=x*A*x=x*Ax，因此x*Ax是實(shí)數(shù)；充分性，y∈，x*Ax，y*Ay，(x+y)*A(x+y)都是實(shí)數(shù)，而(x+y)*A(x+y)=x*A(x+y)+y*A(x+y)=x*Ax+x*Ay+y*Ax+y*Ay于是對(duì)任意x，y∈，x*Ay+y*Ax是實(shí)數(shù)，特別地，令x=(0，0，…，1，0，…，0)，y=(0，0，…，1，0，…，0)，且x與y中的1分別是第j個(gè)和第k個(gè)分量，則x*Ay+y*Ax=+，是實(shí)數(shù)，這表明與的虛部值相等，但符號(hào)相反，令x=(0，0，…，1，0，…，0)，y=(0，0，…，1，0，…，0)，x中的第j個(gè)分量。y中的1是第k個(gè)分量．其中i=1，x*Ay+y*Ax=+，則與實(shí)部相等，因此=，j，k=1，2，…，n．即A是Hermite矩陣。2．2定理設(shè)A=[]∈Mn是給定的，那么A是Hermite矩陣的充分必要條件是A是正規(guī)矩陣，且A的所有特征值都是實(shí)數(shù)。證明：必要性，A是n階Hermite矩陣，則A必酉相似于實(shí)對(duì)角矩陣，即存在n階酉矩陣U使得U*AU=V，其中V=diag(，…，)，(i=1，2，…，n)是A的實(shí)特征值，且A*A==AA*，即A是正規(guī)矩陣。充分性，A是正規(guī)矩陣，則它可酉對(duì)角化，所以A=UVU*，其中V=di
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