酉矩陣與hermite矩陣性質(zhì)總結(jié)-文庫吧資料
2025-07-01 04:11本頁面
【正文】 若A≥0,B≥0, 則A + B≥0 。第三節(jié) Hermite矩陣的正定性與實(shí)對(duì)稱矩陣一樣, 同樣我們可以利用Hermite 二次型的正定(非負(fù)定) , 可以定義Hermite 矩陣的正定(非負(fù)定)。證明：略．2．4定理 (Hermite矩陣的譜定理)設(shè)A∈Mn，則A是Hermite矩陣的充分必要條件是存在酉矩陣U，使得U*AU=V= diag(，…，)，其中(i=1，2，…，n)均為實(shí)數(shù)。充分性，A是正規(guī)矩陣，則它可酉對(duì)角化，所以A=UVU*，其中V=diag(，…，)是由A的各特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣，一般有A*=UVU*，而V是實(shí)矩陣，故A=A*，即A是Hermite矩陣。2．2定理設(shè)A=[]∈Mn是給定的，那么A是Hermite矩陣的充分必要條件是A是正規(guī)矩陣，且A的所有特征值都是實(shí)數(shù)。證明：必要性，如果A是Hermite矩陣，則對(duì)任意x∈，因?yàn)閤*Ax是實(shí)數(shù)，所以x*Ax=(x*Ax)=x*A*x=x*Ax，因此x*Ax是實(shí)數(shù)；充分性，y∈，x*Ax，y*Ay，(x+y)*A(x+y)都是實(shí)數(shù)，而(x+y)*A(x+y)=x*A(x+y)+y*A(x+y)=x*Ax+x*Ay+y*Ax+y*Ay于是對(duì)任意x，y∈，x*Ay+y*Ax是實(shí)數(shù)，特別地，令x=(0，0，…，1，0，…，0)，y=(0，0，…，1，0，…，0)，且x與y中的1分別是第j個(gè)和第k個(gè)分量，則x*Ay+y*Ax=+，是實(shí)數(shù)，這表明與的虛部值相等，但符號(hào)相反，令x=(0，0，…，1，0，…，0)，y=(0，0，…，1，0，…，0)，x中的第j個(gè)分量。注：這個(gè)定理充分說明了Hermite矩陣在矩陣中的地位相當(dāng)于實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)中的地位。關(guān)于唯一性論斷，如果A=E+iF，其中E和F都是H矩陣，那么2S=A+A*=(E+iF)+(E+iF)*=E+iF—E—iF=2E。(由定義可知的共軛等于故 (i=1，2，3，…，n)為實(shí)數(shù))。第一節(jié) 關(guān)于Hermite矩陣的性質(zhì)定理(1)對(duì)所有A∈Mn，A+A*，AA*和A*A都是Hermite矩陣．(2)如果A是Hermite矩陣，則對(duì)正整數(shù)k，也是Hermite矩陣．(3)如果A是可逆Hermite矩陣，則也是Hermite矩陣．(4)如果A，B是Hermite矩陣，則對(duì)實(shí)數(shù)k，p，kA+pB也是Hermite矩陣(5)對(duì)所有A∈Mn，A—A*是斜Hermite矩陣．(A—A*)=A*A=(A—A*)(6)如果A，B是斜Hermite矩陣，那么對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，aA+bB是斜Hermite矩陣．(7)如果A是Hermite矩陣，那么iA是斜Hermite矩陣，反之，A是斜Hermite矩陣，則iA是Hermite矩陣．(8)任意A∈Mn可寫成A=1/2(A+A*)+ 1/2(A—A*)=H(A)+S(A)，其中H(A)=1/2(A+A*)是A的Hermite部分，而S(A)=1/2(A—A*)是A的斜Hermite部分。如果A=A*，則稱之為斜Hermite矩陣。 Characteristic value第一章 酉矩陣第一節(jié) 酉矩陣的概念及等價(jià)條件 正交矩陣和酉矩陣 滿足的階實(shí)矩陣稱為正交矩陣.在矩陣?yán)碚撝? 經(jīng)常利用矩陣來描述變換. 在實(shí)空間中正交變換保持度量不變, 而正交變換中對(duì)應(yīng)的變換矩陣就是正交矩陣, 所以對(duì)正交矩陣的研究就顯得格外重要. 同樣道理, 想要得到復(fù)空間中保持度量不變的線性變換, 就應(yīng)該對(duì)正交變換進(jìn)行推廣, 將其推廣到復(fù)數(shù)域上, 那對(duì)應(yīng)的正交矩陣相應(yīng)的也推廣到復(fù)數(shù)域就是酉矩陣. 酉矩陣的等價(jià)條件 先給出酉矩陣的以下定義. 若階復(fù)方陣滿足則稱為酉矩陣. 若階復(fù)方陣滿足則稱為酉矩陣. 若階復(fù)方陣滿足則稱為酉矩陣.注:表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，即. 若階復(fù)方陣的個(gè)行(列)向量是兩兩正交的單位向量, 則稱為酉矩陣.—. , , 階酉矩陣的個(gè)行(列) 向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.[3] 酉矩陣的行列式的模為1[4] 對(duì)任意的階矩陣有.[5] 對(duì)任意的階矩陣和階可逆矩陣, 有[6] 對(duì)任意的階矩陣和階矩陣, 有[6] 階矩陣為酉矩陣的充分必要條件是：或者 陣為酉矩陣的充分必要條件是這里表示行列 的模, 表示的共軛復(fù)數(shù). 二階矩陣為酉矩陣的充分必要條件是為下列三種形式之一 :(i) (ii) (iii) 這里,為整數(shù). 階矩陣為酉矩陣的充要條件是: 對(duì)任意階矩陣B, 有:第二節(jié) 酉矩陣的性質(zhì) 運(yùn)算性質(zhì) 酉矩陣的轉(zhuǎn)置與伴隨矩陣 設(shè)為酉矩陣，則都是酉矩陣.證明 因?yàn)樗允怯暇仃?因?yàn)樗允怯暇仃?因?yàn)? 所以是酉矩陣. 設(shè)為酉矩陣, 則的伴隨矩陣也是酉矩陣. 證明 因?yàn)? 所以為酉矩陣. 設(shè)和是酉矩陣，則, 也是酉矩陣.證明 因?yàn)? 所以是酉矩陣, 同理可證，也是酉矩陣. 設(shè)是酉矩陣，則（為正整數(shù)）是酉矩陣. 設(shè)，是酉矩陣，則，；，；，；，也是酉矩陣. 設(shè)，是酉矩陣，則，也是酉矩陣. 設(shè)，是酉矩陣，則，（, 為正整數(shù)）也是酉矩陣.
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