可交換矩陣的幾個充要條件和性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-07-23 02:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )若,中有一個為對稱矩陣,不妨設(shè)為對稱矩陣,則為反對稱矩陣,則因此為反對稱矩陣. ,均為對稱正定矩陣,則,可交換的充要條件是為對稱正定矩陣. 證 (1)可得,下面證明必要性. 因,為對稱正定矩陣,故有可逆矩陣,使,于是,所以為對稱正定矩陣,從而的特征值也全為正數(shù),因此為對稱正定矩陣. 167。3 可交換矩陣的一些性質(zhì) (1)冪等矩陣:若為矩陣,且,則冪等矩陣. (2)冪零矩陣:若為矩陣,且,則為冪零距陣. (3)冪幺矩陣:若為矩陣,且,為單位矩陣,則為冪幺矩陣.,可交換,則有: (1)。 (2)(矩陣二項(xiàng)式定理). (3),其中都是正整數(shù)。 (4),其中是的多項(xiàng)式,即與的多項(xiàng)式可交換。 證 (1)對用數(shù)學(xué)歸納法可證得.當(dāng)時,明顯成立.假設(shè)當(dāng)時,有下證當(dāng)時結(jié)論也成立.故對一切正整數(shù),結(jié)論成立.(2)用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時,結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)時,有,于是而. 所以. 故對一切正整數(shù),二項(xiàng)式定理成立. （3） 由可得, 同理可證,.(4)由(3)可證得.,可交換,(1)若,均為冪等矩陣,則,也為冪等矩陣。 (2)若,均為冪零距陣,則,均為冪零距陣。 (3)若,均為冪幺矩陣,則也為冪幺矩陣。 證 (1)由,及即
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