圓錐曲線二輪復(fù)習(xí)資料教師版(編輯修改稿)
2025-08-19 20:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 由點 P 在橢圓 C 上得 2217,6x?? 代入①式并化簡得 29,y所以點 M 的軌跡方程為 47(4),3x????軌跡是兩條平行于 x 軸的線段（ii） 3??時，方程變形為221169y????，其中 ??4,??當(dāng) 04?時，點 的軌跡為中心在原點、實軸在 y軸上的雙曲線滿足 4x?的部分。當(dāng) 31?時，點 M的軌跡為中心在原點、長軸在 x軸上的橢圓滿足 ?的部分；當(dāng) ?時，點 的軌跡為中心在原點、長軸在 軸上的橢圓；6（2022 浙江）（本題滿分 15 分）已知拋物線 C： 2(0)xpy??上一點 (,4)Am到其焦點的距離為174．（I）求 p與 m的值； （II）設(shè)拋物線 C上一點 P的橫坐標(biāo)為 (0)t?，過 P的直線交 C于另一點 Q，交 x軸于點 M，10過點 Q作 P的垂線交 C于另一點 N．若 M是 C的切線，求 t的最小值．解析（Ⅰ）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程： 2py??，根據(jù)拋物線定義點 )4,(mA到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即 417??，解得 21?p?拋物線方程為： yx?2，將 )4,(mA代入拋物線方程，解得 ?m（Ⅱ）由題意知，過點 ,2tP的直線 Q斜率存在且不為 0，設(shè)其為 k。則 )(:2xktylPQ?，當(dāng) ,02ktxy??? 則 ),(2tM??。聯(lián)立方程 ????t2，整理得： 0)2?t即： 0)]()[(?tkxt，解得 ,tx?或 tk?,2Q?，而 QPN?， ?直線 N斜率為 1 21 世紀(jì)教育網(wǎng) )]([1)(:2tkxtkylN???，聯(lián)立方程 ???????yxtktky2)]([)(整理得： 022 ??ttx，即： 0]1)([2 ???tt )](][1)([??tktk，解得： ktx1)(?，或 tkx?),(2ttN??， )1(1)(][ 22??????tktktKNM而拋物線在點 N 處切線斜率： ykktx )(1)(????切?MN 是拋物線的切線， t 2)(2， 整理得 0212???ttk0)21(42????tt，解得 3??（舍去），或 3?t， min??t7.（2022 北京理）（本小題共 14 分）已知雙曲線2:(,)xyCab??的離心率為 ，右準(zhǔn)線方程為 3x（Ⅰ）求雙曲線 的方程；（Ⅱ）設(shè)直線 l是圓 2:Oxy?上動點 00(,))Pxy?處的切線， l與雙曲線 C交11于不同的兩點 ,AB，證明 O?的大小為定值.【解法 1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．（Ⅰ）由題意，得23ac?????，解得 1,3ac?， ∴ 22bc??，∴所求雙曲線 C的方程為21yx??.（Ⅱ）點 ??00,Pxy?在圓 2xy??上，圓在點 0,處的切線方程為 ??0x?，化簡得 02xy??.由201xy?????及 20x得 ??22022348xx????，∵切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B，且 20?，∴ 2034x??，且 ??22202216438xx?????，設(shè) A、B 兩點的坐標(biāo)分別為 12,y，則 0012128,3434xxx?????，∵ cosOBA????，且 ??12120222Bxyxxy??????，2120221204????????220222202288334xx???????22022x??.12∴ AOB?的大小為 90?.【解法 2】（Ⅰ）同解法 1.（Ⅱ）點 ??00,Pxy?在圓 2xy??上，圓在點 0,處的切線方程為 ??0x?，化簡得 02xy??.由201yx??????及 20y??得??2202248?? ①xyx? ②∵切線 l與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B，且 20x?，∴ 2034x??，設(shè) A、B 兩點的坐標(biāo)分別為 ??12,y，則220222188,34xy???，∴ 12OABx????，∴ AOB?的大小為 90?.（∵ 20xy??且 0?，∴ 200,y??，從而當(dāng) 234x??時，方程①和方程②的判別式均大于零）8.（ 2022 廣 東 卷 理 ） （本小題滿分 14 分）已知曲線 2:Cyx?與直線 :20lxy???交于兩點 (,)Axy和 (,)Bxy，且 ABx?．記曲線 C在點 A和點 B之間那一段 L與線段 AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為 D．設(shè)點 (,)Pst是 L上的任一點，且點 P與點 和點 均不重合．（1）若點 Q是線段 的中點，試求線段 PQ的中點 M的軌跡方程； （2）若曲線 22251:40Gxaya???與 D有公共點，試求 a的最小值．解：（1）聯(lián)立 ?與 x得 2,?BAx，則 A中點 )25,1(Q，設(shè)線段 PQ的中點 M坐標(biāo)為 ),(yx，則 2,1tys，即 5,1?yts，又點 P在曲線 C上，∴ 2)(52??化簡可得 8???x，又點 是 L上的任一點，且不與點 A和點 B重合，則1321??x，即 45?x，∴中點 M的軌跡方程為 812???xy（ 45?x）. 21 世紀(jì)教育網(wǎng) （2）曲線 2221: 05Gaya???，即圓 E： 49)()(?x，其圓心坐標(biāo)為 )2,(aE，半徑 57?r由圖可知，當(dāng) 20?時，曲線 221:40Gxy??與點 D有公共點；當(dāng) ?a時，要使曲線 51:40xay與點 有公共點，只需圓心 E到直線:20lxy???的距離 72||| ???d，得 2???a，則 的最小值為 527?5.（2022 湖南）（本小題滿分 13 分） 已知橢圓 C 的中心在原點，焦點在 x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為 8 的正方形（記為 Q）.（Ⅰ）求橢圓 C 的方程。（Ⅱ）設(shè)點 P 是橢圓 C 的左準(zhǔn)線與 x軸的交點，過點 P 的直線 l與橢圓 C 相交于 M,N 兩點，當(dāng)線段 MN 的中點落在正方形 Q 內(nèi)（包括邊界）時，求直線 l的斜率的取值范圍。解: （Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓 C 的方程為21(0),yab???焦距為 2c，由題設(shè)條件知， 28,abc? 所以 24. 故橢圓 C 的方程為214xy? .（Ⅱ）橢圓 C 的左準(zhǔn)線方程為 ,??所以點 P 的坐標(biāo) (4,0)?，顯然直線 l的斜率 k存在，所以直線 l的方程為 ykx??。 如圖，設(shè)點 M， N 的坐標(biāo)分別為 12(,),xy線段 MN 的中點為 G 0(,)y， yoxAxBD14 由 2(4),18ykx??????得 222()16380kxk???. ……①由 22(6)4()38)k????解得 2?. ……②因為 12,x是方程①的兩根，所以2126kx???
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