圓錐曲線基礎知識復習(編輯修改稿)
2025-02-04 20:52 本頁面
【文章內容簡介】 點 ),( 00 yxM 在拋物線的內部，則直線 l ： )(2 00 xxyy ?? 與拋物線 C 的位置關系是_______（答：相離）； （ 5） 過拋物線 xy 42? 的焦點 F 作一直線交拋物線于 P、 Q 兩點，若線段 PF 與 FQ的長分別是 p、 q ，則 ??qp 11_______（答： 1）； （ 6） 設雙曲線 1916 22 ?? yx 的右焦點為 F ，右準線為 l ，設某直線 m 交其左支、右 支和右準線分別于 RQP , ，則 PFR? 和 QFR? 的大小關系為 ___________(填大于、小于或等于 ) （答：等于）； （ 7） 求 橢圓 2847 22 ?? yx 上 的點 到直線 01623 ??? yx 的 最短 距離（答： 81313 ）； （ 8） 直線 1??axy 與雙曲線 13 22 ??yx 交于 A 、 B 兩點。 ① 當 a 為何值時， A 、 B 分別在雙曲線的兩支上？ ② 當 a 為何值時，以 AB 為直徑的圓過坐標原點？（答：① ? ?3, 3? ； ② 1a?? ）； 焦半徑 （圓錐曲線上的點 P 到焦點 F 的距離） 的計算方法 ：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑 r ed? ，其中 d 表示 P 到與 F 所對應的準線的距離。 如 （ 1） 已知橢圓 11625 22 ??yx 上一點 P 到橢圓左焦點的距離為 3，則點 P 到右準線的距離為 ____（答： 353 ）； （ 2） 已知拋物線方程為 xy 82? ，若拋物線上一點到 y 軸的距離等于 5，則它到拋物線的焦點的距離等于 ____； （ 3） 若該拋物 線上的點 M 到焦點的距離是 4，則點 M 的坐標為 _____（答：7,(2, 4)? ）； （ 4） 點 P 在橢圓 1925 22 ??yx 上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P 的橫坐標為 _______（答： 2512 ）； （ 5） 拋物線 xy 22? 上的兩點 A、 B 到焦點的距離和是 5，則線段 AB 的中點到 y 軸的距離為 ______（答： 2）； （ 6） 橢圓 134 22 ??yx 內有一點 )1,1( ?P ， F 為右焦點，在橢圓上有一點 M，使MFMP 2? 之值最小，則點 M 的坐標為 _______（答： )1,362( ? ）； 焦點三角形 （橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形） 問題 ：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點 00( , )Px y 到兩焦點 12,FF的距離分別為 12,rr，焦點 12FPF? 的面積為 S ，則在橢圓 12222 ??byax 中， ① ? ＝)12arccos( 21 2 ?rrb ，且當 12rr? 即 P 為短軸端點時， ? 最大為 ? max ＝ 2 22arccos a cb ? ；② 20ta n | |2S b c y???，當 0||yb? 即 P 為短軸端點 時， maxS 的最大值為 bc； 對于雙曲線 221xyab??的焦點三 角形有： ① ???????? ??21221a rc c osrrb?； ② 2c ots in21 221 ?? brrS ??。 如 （ 1） 短軸長為 5 ，離心率32?e的橢圓的兩焦點為 1F 、 2F ，過 1F 作直線交橢圓于A、 B 兩點，則 2ABF? 的周長為 ________（答： 6）； （ 2） 設 P 是等軸雙曲線 )0(222 ??? aayx 右支上一點， F F2 是左右焦點，若0212 ?? FFPF ， |PF1|=6，則該雙曲線的方程為 （答： 224xy??） ； （ 3） 橢圓 22194xy??的焦點為 F F2，點 P 為橢圓上的動點，當 PF2→ PF1→ 0 時，點 P 的橫坐標的取值范圍是 （答： 3 5 3 5( , )55? ）； （ 4） 雙曲線的虛軸長為 4，離心率 e＝ 26 ， F F2是它的左右焦點，若過 F1的直線與雙曲線的左支交于 A、 B兩點，且 AB 是 2AF 與 2BF 等差中項，則 AB ＝ __________（答： 82）； （ 5） 已知雙曲線的離心率為 2， F F2 是左右焦點， P 為雙曲線上一點，且?6021 ?? PFF ， 31221 ?? FPFS ．求該雙曲線的標準方程（答： 2214 12xy??）； 拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質 ： （ 1） 以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切； （ 2） 設 AB 為焦點弦， M 為準線與 x 軸的交點，則∠ AMF＝∠ BMF； （ 3） 設 AB為焦點弦， A、 B在準線上的射影分別為 A1 ， B1 ，若 P為 A1 B1 的中點，則 PA⊥ PB； （ 4） 若AO的延長線交準線于 C，則 BC平行于 x軸，反之，若過 B點平行于 x 軸的直線交準線于 C點，則 A， O， C三點共線。 弦長公式 ：若直線 y kx b??與圓錐曲線相交于兩點 A、 B，且 12,xx分別為 A、B 的橫坐標，則 AB ＝ 2 121 k x x??，若 1
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